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相关试卷

1、已知 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{a x + b}$ 是定义域上的奇函数，且 $f (1) = 2$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断并用定义证明 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的单调性；

(3)、设函数 $h (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2 t \cdot f (x) (t < 0)$ ，若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [\frac{1}{2}, 1]$ ， $|h (x_{1}) - h (x_{2})| \leq \frac{15}{4}$ ，求实数 $t$ 的最小值.

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2、某校举办“奋进新征程，建功新时代”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组： $[60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ ，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)、用分层随机抽样的方法从 $[80, 90), [90, 100]$ 这两个区间共抽取5名学生，则每个区间分别应抽取多少人？

(2)、在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间 $[80, 90)$ 的概率；

(3)、现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前70%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1）

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $△ P C D$ 为等边三角形，平面 $P A C ⊥$ 平面 $P C D, C D = 2, A D = 3$ .

(1)、设 $G, H$ 分别为 $P B, A C$ 的中点，证明： $G H //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $A D$ 与平面 $P A C$ 所成角的正切值.

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4、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a^{2} + b^{2} - a b = c^{2}$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $sin A = \frac{1}{7}$ ，求 $sin B$ .

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5、一个三棱锥形木料 $P - A B C$ ，其中底面 $△ A B C$ 是 $A = 90^{\circ}, A B = 2 dm$ 的等腰直角三角形， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ，二面角 $P - B C - A$ 的大小为 $45^{\circ}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球表面积为 ${dm}^{2}$ .

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6、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3^{a} - x, x \leq 2, \\ {log}_{2} x, x > 2 \end{array}$ 的值域为 $(1, + \infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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7、已知集合 $A = \{- 1, 0\}, B = \{y ∣ y = 2 x, x \in A\}$ ，则 $A \cup B$ 的所有元素之和为.

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8、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (1) = 0$ ，若 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 2$ ，则（）

A、 $f (- 2) = - 6$ B、 $f (1013) = 2024$ C、 $f (x)$ 有最大值 D、函数 $f (x) + 2$ 是奇函数

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9、已知函数 $f (x) = sin x cos x - \sqrt{3} {cos}^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ 成中心对称 C、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{3}]$ 上单调递增 D、若 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = x_{0}$ 对称，则 $cos 2 x_{0} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

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10、已知向量 $\vec{a} = (1, 3), \vec{b} = (- 2, 1)$ ，则（）

A、 $|\vec{b}| = \sqrt{5}$ B、 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ C、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的模为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角

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11、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b sin A = \sqrt{3} a cos B, ∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，且 $B D = \sqrt{3}$ ，则 $a + 2 c$ 的最小值是（）

A、4 B、6 C、 $2 + 2 \sqrt{2}$ D、 $3 + 2 \sqrt{2}$

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12、已知 $m + e^{m} = e, n + 3^{n} = e$ ，则（）

A、 $1 < n < m < e$ B、 $1 < m < n < e$ C、 $0 < n < m < 1$ D、 $0 < m < n < 1$

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13、中国南北朝时期数学家､天文学家祖冲之､祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为 $3 \sqrt{3}$ 的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（）

A、24 B、 $24 \sqrt{3}$ C、 $27 \sqrt{3}$ D、 $\frac{63}{2}$

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14、已知函数 $y = x^{2} + (1 + m) x + 2$ 在区间 $(- \infty, 4]$ 上单调递减，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 9]$ B、 $[3, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 5]$ D、 $[7, + \infty)$

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15、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 满足 $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ B、 $\vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$ D、 $- \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D}$

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16、设 $x \in R$ ，则“ $x = \frac{π}{2}$ ”是“ $cos x = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知由小到大排列的4个数据 $1, 3, 4, a$ 的极差是它们中位数的2倍，则 $a =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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18、已知 $z = (3 + i) (2 - i)$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、 $- 1$ C、 $7 i$ D、7

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19、在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面） $S$ 的方程，若曲面 $S$ 和三元方程 $F (x, y, z) = 0$ 之间满足：①曲面 $S$ 上任意一点的坐标均为三元方程 $F (x, y, z) = 0$ 的解；②以三元方程 $F (x, y, z) = 0$ 的任意解 $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 为坐标的点均在曲面 $S$ 上，则称曲面 $S$ 的方程为 $F (x, y, z) = 0$ ，方程 $F (x, y, z) = 0$ 的曲面为 $S$ .已知空间中某单叶双曲面 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{1} - \frac{z^{2}}{4} = 1$ ，双曲面 $C$ 可视为平面 $x O z$ 中某双曲线的一支绕 $z$ 轴旋转一周所得的旋转面，已知直线 $l$ 过C上一点 $Q (1, 1, 2)$ ，且以 $d = (- 2, 0, - 4)$ 为方向向量.

(1)、指出 $x O y$ 平面截曲面 $C$ 所得交线是什么曲线，并说明理由；

(2)、证明：直线 $l$ 在曲面 $C$ 上；

(3)、若过曲面 $C$ 上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面 $C$ 上.设直线 $l^{'}$ 在曲面 $C$ 上，且过点 $T (\sqrt{2}, 0, 2)$ ，求异面直线 $l$ 与 $l^{'}$ 所成角的余弦值.

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20、由 $m n$ 个小正方形构成长方形网格有 $m$ 行和 $n$ 列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为 $p$ ，放红球的概率为q， $p + q = 1$ .

(1)、若 $m = 2$ ， $p = q = \frac{1}{2}$ ，记 $y$ 表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：
n
1
2
3
4
5
y
76
56
42
30
26
求y关于n的回归方程 $\ln \hat{y} = \hat{b} n + \hat{a}$ ，并预测 $n = 10$ 时，y的值；（精确到1）

(2)、若 $m = 2$ ， $n = 2$ ， $p = \frac{1}{3}$ ， $q = \frac{2}{3}$ ，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明： ${(1 - p^{m})}^{n} + {(1 - q^{n})}^{m} \geq 1$ .
附：经验回归方程系数： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{k} x_{i} y_{i} - k \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{k} x_{i}^{2} - k {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $\sum_{i = 1}^{5} n_{i} \cdot \ln y_{i} = 53$ ， $\bar{\ln y} = 3.8$ .

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