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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x \ln x - x ， g (x) = a \ln x - x^{2} + 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $g (x) \leq 0$ 在区间 $(0, + \infty)$ 内恒成立，求实数 $a$ 的值.

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2、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4})$ ( $ω > 0$ )，点A是 $f (x)$ 图像上的一个最高点，B、C为 $f (x)$ 图像的两个对称中心， $△ A B C$ 面积的最小值为 $π$ ．

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、 $f (x)$ 在区间 $[0, m]$ 上有20个极值点，求实数m的取值范围．

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3、已知双曲线 $M : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, △ A B C$ 的三个顶点都在 $M$ 上，且直线 $B C$ 过原点，直线 $A C, A B$ 斜率的乘积为3，则双曲线 $M$ 的离心率为．

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4、若 $(x^{2} + 1) \cdot {(x - 1)}^{8} = a_{0} + a_{1} (x - 2) + a_{2} {(x - 2)}^{2} + \dots + a_{10} {(x - 2)}^{10}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{10} =$ .

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5、甲､乙两同学参加普法知识对抗赛，规则如下：每轮由其中一人从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1分，且此人继续答题；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计，甲､乙每次答题正确的概率分别是 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{2}{3}$ ，且第1题通过抛掷硬币决定由谁作答.设第 $n$ 次答题者是甲的概率为 $P_{n}$ ，第 $n$ 次回答问题结束后甲的得分为 $K_{n}$ ，则（）

A、 $P_{2} = \frac{1}{4}$ B、 $P (K_{1} = 0) = \frac{3}{4}$ C、 $P_{n + 1} = \frac{1}{6} P_{n} + \frac{1}{3}$ D、 $P (K_{n} = n) = \frac{1}{2^{n + 1}}$

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6、已知三棱锥 $V - A B C, V A = V B = V C, △ A B C$ 是边长为2的正三角形， $D, E$ 分别是 $V A, A B$ 的中点， $∠ C D E = 90 °, V$ 在平面 $A B C$ 内的投影为点 $M, M$ 在平面 $V A B$ 内的投影为点 $P$ ．（）

A、 $V A, V B, V C$ 两两垂直 B、 $P$ 在平面 $V A C$ 的投影为 $V A$ 的中点 C、 $C, M, E$ 三点共线 D、形如三棱锥 $V - A B C$ 的容器能被整体装入一个直径为2.5的球

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7、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差大于0且 $a_{1} + a_{6} = 4 a_{2}$ ，若 $\sum_{k = 1}^{24} \frac{1}{\sqrt{a_{k + 1}} + \sqrt{a_{k}}} = 6$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $\frac{13}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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8、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $B = \frac{2}{3} π, b = 6, a^{2} + c^{2} = 3 a c$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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9、如图，二面角 $α - l - β$ 等于 $120 °$ ， $A 、 B$ 是棱 $l$ 上两点， $B D 、 A C$ 分别在半平面 $α 、 β$ 内， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，且 $A B = A C = B D = 2$ ，则 $C D$ 的长等于（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、2

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10、若一个四位数的各个数位上的数子之和为3，则这样的四位数个数为（）

A、10 B、12 C、15 D、20

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11、函数 $f (x) = ln x - x^{2}$ 与直线 $x + y = 0$ 相切于点 $A$ ，则点 $A$ 的横坐标为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、1 C、2 D、e

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12、若 $a, b \in R$ ，则“ $a > b$ ”是“ $3^{a} - 3^{b} > 2^{b} - 2^{a}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知非空集合 $A = \{x |a < x < a^{2}\}$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (0, + \infty)$

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14、给定数列 $\{a_{n}\}$ ，若首项 $a_{1} > 0$ 且 $a_{1} \neq 1$ ，对任意的 $n, m \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + m} = a_{n} \cdot a_{m}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“指数型数列”.

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为“指数型数列”，若 $a_{1} = 2$ ，求 $a_{2}, a_{3}$ ；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}, a_{n} = 2 a_{n} a_{n + 1} + 3 a_{n + 1} (n \in N^{*})$ ，判断数列 $\{\frac{1}{a_{n}} + 1\}$ 是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；

(3)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是“指数型数列”，且 $a_{1} = \frac{a + 2}{a + 3} (a \in N^{*})$ ，证明：数列 $\{a_{n}\}$ 中任意三项都不能构成等差数列.

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15、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线为 $x = - \frac{1}{2}$ ，焦点为 $F . A, B, C$ 为 $E$ 上异于原点且不重合的三点.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、若 $F$ 为 $△ A B C$ 的重心，求 $|F A| + |F B| + |F C|$ 的值；

(3)、过 $A, B$ 两点分别作 $E$ 的切线 $l_{1}, l_{2}, l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点 $D$ ，若 $|A B| = 4$ ，求 $△ A B D$ 面积的最大值.

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16、如图，在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $D_{1} D ⊥$ 平面 $A B C D, A D // B C$ ， $A D = C D =$ 2， $B C = A_{1} D_{1} = D_{1} D = 1$ ， $∠ B C D = 60^{\circ}$ .

(1)、记平面 $A_{1} A D D_{1}$ 与平面 $B_{1} B C C_{1}$ 的交线为 $l$ ，证明： $l ⊥$ 平面 $B_{1} B D D_{1}$ ；

(2)、求平面 $A_{1} A D D_{1}$ 与平面 $A_{1} A B B_{1}$ 的夹角的余弦值.

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17、南方游客勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的喜爱.某新闻媒体机构随机调查了男､女性游客各100名，统计结果如下表所示：
对滑雪的喜爱情况
性别
合计
男性游客
女性游客
喜欢滑雪
60
35
95
不喜欢滑雪
40
65
105
合计
100
100
200

(1)、依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联？

(2)、冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个滑雪基本动作（起步､滑行､转弯､制动）进行指导.据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为 $\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}$ ，且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立.若这四个滑雪基本动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号.求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ .
$α$
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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18、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $(b - c) \sin B = (a + c) \cdot (\sin A - \sin C)$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $D$ 为边 $A B$ 的中点，且 $C D = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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19、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}, P$ 为 $E$ 上且不与顶点重合的任意一点， $I$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心， $O$ 为坐标原点，记直线 $O P, O I$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k_{1} = \frac{3}{2} k_{2}$ ，则 $E$ 的离心率为.

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20、已知集合 $A = \{x \in N | {log}_{2} (x - 3) \leq 2\}$ ， $B = \{x |\frac{x - 7}{x - 4} \leq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ .

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对滑雪的喜爱情况	性别		合计
对滑雪的喜爱情况	男性游客	女性游客	合计
喜欢滑雪	60	35	95
不喜欢滑雪	40	65	105
合计	100	100	200

$α$	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828