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相关试卷

1、已知集合 $P = \{x \in Z| - 2 < x < 4\}$ ， $Q = \{x| x^{2} + 2 x - 3 \leq 0\}$ ，则 $P \cap Q =$ （）

A、 $(- 2, 1]$ B、 $[- 3, 4)$ C、 $\{- 1, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1\}$

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2、已知函数 $f (x) = ln x + 1, g (x) = e^{x} - 1$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的公切线的条数；

(2)、若 $a > 0, \forall x \in (- 1, + \infty), f (x + 1) \leq a^{2} g (x) + a^{2} - a + 1$ ，求 $a$ 的取值范围.

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3、为改善人口结构，我国自2021年5月31日起实施三胎政策.政策实施以来，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某机构对该市家庭生育情况进行抽查，抽取到第2个三胎家庭就停止抽取，记抽取的家庭数为随机变量 $X (X \geq 2)$ ，且该市随机抽取一户是三胎家庭的概率为 $\frac{1}{3}$ ，已知各家庭抽查结果相互独立.

(1)、求 $P (X = 4)$ ；

(2)、若抽取的家庭数X不超过n的概率不小于 $\frac{2}{3}$ ，求整数n的最小值.

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4、某同学在研究二项式定理的时候发现： $f (x) = {(1 + x)}^{n} = 1 + C_{n}^{1} x + C_{n}^{2} x^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} x^{n - 1} + C_{n}^{n} x^{n}$ 其中 $C_{n}^{r}$ 为 $x^{r}$ 的系数，它具有好多性质，如：① $1 + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + \dots + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n} = 2^{n}$ ；② $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ ；③ $k C_{n}^{k} = n C_{n - 1}^{k - 1}$ ；请借助于该同学的研究方法或者研究成果解决下列问题：

(1)、计算： $C_{7}^{1} + 2 C_{7}^{2} + 3 C_{7}^{3} + \dots + 7 C_{7}^{7}$ ；(请用数字作答)

(2)、若 $n \in N^{*}$ ，且 $n \geq 3$ ，证明： $\sum_{k = 1}^{n} k^{2} C_{n}^{k} = n (n + 1) \cdot 2^{n - 2}$ ；

(3)、设数列 $a_{0}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 是公差不为0的等差数列，证明：对任意的 $n \in N^{*}$ ，函数 $p (x) = a_{0} C_{n}^{0} {(1 - x)}^{n} + a_{1} C_{n}^{1} x {(1 - x)}^{n - 1} + a_{2} C_{n}^{2} x^{2} {(1 - x)}^{n - 2} + \dots + a_{n} C_{n}^{n} x^{n}$ 是关于x的一次函数.

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5、小家电指除大功率､大体积家用电器（如冰箱､洗衣机､空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为 $1 \sim 5$ .
年份代码 $x$
1
2
3
4
5
市场规模 $y$
0.9
1.2
1.5
1.4
1.6

(1)、由上表数据可知，可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，请用相关系数加以说明；

(2)、建立 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程（系数精确到0.01）.
参考数据： $: \bar{y} = 1.32, \sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 21.4, \sqrt{\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} \approx 0.55, \sqrt{10} \approx 3.16$ ；
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

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6、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} a_{n} + a_{n + 1} - a_{n} = 0$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{\cos n π}{2 a_{n}} + 2$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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7、“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前46项和为.

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8、将5名志愿者分配到四个社区协助开展活动，每名志愿者只能到1个社区，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是.

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9、当 $x \in [0, 3]$ 时，函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x + 2$ 的最小值为.

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ ，其前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ，则（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{p} + a_{q} = a_{s} + a_{t}$ ，则 $p + q = s + t$ B、若 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $S_{n} = A n^{2} + B n + C (A, B, C \in R)$ ，则 $C = 0$ C、若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $S_{n} = 2^{n + 1} + C$ ，其中 $C$ 为常数，则 $C = - 2$ D、若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，则 $S_{k}, S_{2 k} - S_{k}, S_{3 k} - S_{2 k}, \cdot \cdot \cdot$ 也是等比数列

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11、下列函数中，存在极值点的是（）

A、 $y = x - \frac{1}{x}$ B、 $y = - 2 x^{3} - x$ C、 $y = x ln x$ D、 $y = x sin x$

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12、已知函数 $f (x) = x^{α} (x > 0)$ ， $α$ 为实数， $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，在同一直角坐标系中， $f (x)$ 与 $f^{'} (x)$ 的大致图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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13、某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用 $2 \times 2$ 列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据 $α = 0.010$ 的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据 $α = 0.025$ 的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则 $χ^{2}$ 的值可能为（）
附表：
$α$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

A、4.238 B、4.972 C、6.687 D、6.069

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14、若函数 $f (x) = e^{x} - k ln x$ 在区间 $(1 ， e)$ 上是增函数，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{e}]$ C、 $(- \infty ， e]$ D、 $(- \infty ， e^{e}]$

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15、画 $n$ 条直线，将圆的内部区域最多分割成（）

A、 $\frac{n^{2} + 2 n + 1}{2}$ 部分 B、 $\frac{n^{2} + n + 2}{2}$ 部分 C、 $\frac{n^{2} + 3 n}{2}$ 部分 D、 $\frac{n^{2} - n + 4}{2}$ 部分

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16、已知一组成对数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, 6)$ 中y关于x的一元非线性回归方程 $y = b x^{2} + 1$ ，已知 $\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} = 12, \sum_{i = 1}^{6} x_{i} = 4, \sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 18$ ，则 $b =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- \frac{9}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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17、在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，记 $p_{1} = P (μ - σ < X < μ + σ)$ ， $p_{2} = P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ)$ ， $p_{3} = P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ)$ ，经统计，某零件的尺寸大小 $X$ （单位：dm）从正态分布 $N (30, 25)$ ，则 $P (X > 40) =$ （）

A、 $1 - \frac{p_{1}}{2}$ B、 $1 - \frac{p_{2}}{2}$ C、 $\frac{1 - p_{2}}{2}$ D、 $\frac{1 - p_{3}}{2}$

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18、已知随机变量 $ξ$ 的分布列如下表：
$ξ$
1
2
3
$P$
$a$
$b$
$a$
则 $E (ξ) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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19、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = - 1, a_{4} = 8$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d =$ （）

A、3 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 3$

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20、“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的，该问题是“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $\frac{2 π}{3}$ 时，使得 $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = \frac{2 π}{3}$ 的点 $O$ 即为费马点；当 $△ A B C$ 有一个内角大于或等于 $\frac{2 π}{3}$ 时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $sin (A + \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点，若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，求 $b^{2} + c^{2}$ 的最小值；

(3)、设点 $P$ 为 $△ A B C$ 的费马点， $P B + P C = t P A$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

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$α$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

年份代码 $x$	1	2	3	4	5
市场规模 $y$	0.9	1.2	1.5	1.4	1.6

$ξ$	1	2	3
$P$	$a$	$b$	$a$