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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c,$ $5 cos C (a cos B + b cos A) = c$ .

(1)、求 $cos C$ 的值；

(2)、若 $c = 3, △ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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2、对函数 $f (x) = 3^{x}$ 做如下操作：先在 $x$ 轴找初始点 $P_{1} (x_{1}, 0)$ ，然后作 $f (x)$ 在点 $Q_{1} (x_{1}, f (x_{1}))$ 处切线，切线与 $x$ 轴交于点 $P_{2} (x_{2}, 0)$ ，再作 $f (x)$ 在点 $Q_{2} (x_{2}, f (x_{2}))$ 处切线，切线与 $x$ 轴交于点 $P_{3} (x_{3}, 0)$ ，再作 $f (x)$ 在点 $Q_{3} (x_{3}, f (x_{3}))$ 处切线，依次类推.现已知初始点为 $P_{1} (0, 0)$ ，若按上述过程操作，则 $x_{3} =$ ，所得三角形 $△ P_{n} Q_{n} P_{n + 1}$ 的面积为.（用含有 $n$ 的代数式表示）

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3、设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点，过 $F_{2}$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $P, Q$ 两点，且 $P F_{1} ⊥ P Q, |P F_{2}| = 2 |Q F_{2}|$ ，则椭圆 $E$ 的离心率为.

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4、某年级有男生490人，女生510人，为了解学生身高，按性别进行分层，并通过分层随机抽样的方法得到样本容量为100的样本数据，若抽样时在各层中按比例分配样本，并得到样本中男生､女生的平均身高分别为 $170 cm$ 和 $160 cm$ ，在这种情况下，可估计该年级全体学生的平均身高为 $cm$ .

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5、已知 $O$ 为坐标原点，曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 1 + |x| y$ 图象酷似一颗“红心”（如图）.对于曲线C，下列结论正确的是：（）

A、曲线 $C$ 恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点） B、曲线 $C$ 上存在一点 $P$ 使得 $|O P| = \sqrt{2}$ C、曲线 $C$ 上存在一点 $P$ 使得 $|O P| = 2$ D、曲线 $C$ 所围成的“心形”区域的面积大于3

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6、已知函数 $f (x) = cos \frac{2}{3} x (\sqrt{3} sin \frac{2}{3} x - cos \frac{2}{3} x) + \frac{1}{2}$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后得到 $g (x)$ 的图象，则下列结论正确的是（）

A、 $g (x) = cos (\frac{4}{3} x + \frac{2 π}{3})$ B、 $g (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{4}$ 对称 C、 $g (x)$ 的图象关于 $(- \frac{π}{8}, 0)$ 对称 D、 $g (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上单调递增

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7、小华到大理旅游，对于是否选择崇圣寺三塔与蝴蝶泉这两个景点，下列各事件关系中正确的是（）

A、事件“至少选择其中一个景点”与事件“至多选择其中一个景点”为互斥事件 B、事件“两个景点均未选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件 C、事件“只选择其中一个景点”与事件“两个景点均选择”为互斥事件 D、事件“两个景点均选择”与事件“至多选择其中一个景点”互为对立事件

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8、已知函数 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，若方程 $f (x) - f^{'} (x) = 0$ 有解，则称函数 $f (x)$ 是“T函数”，则下列函数中，不能称为“ $T$ 函数”的是（）

A、 $f (x) = \frac{2}{x}$ B、 $f (x) = ln x$ C、 $f (x) = tan x$ D、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$

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9、已知菱形 $A B C D, ∠ A D C = \frac{π}{3}, A B = 2 \sqrt{3}$ ，将 $△ D A C$ 沿 $A C$ 对折至 $△ P A C$ ，使 $P B = 3 \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $12 π$ B、 $27 π$ C、 $28 π$ D、 $48 π$

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10、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1, \vec{b} = (1, 2)$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{10}, \frac{2}{10})$ B、 $(- \frac{1}{10}, - \frac{2}{10})$ C、 $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ D、 $(- \frac{1}{5}, - \frac{2}{5})$

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11、若 $sin α \cdot tan α = \frac{15}{4}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $- \frac{7}{8}$ C、 $\frac{15}{16}$ D、 $- \frac{15}{16}$

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{5} = 11, S_{10} = 24$ ，则 $S_{15} =$ （）

A、34 B、39 C、42 D、45

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13、在平面直角坐标系中，已知两点 $A (0, 1), B (0, - 1)$ ，点 $M$ 为动点，且直线 $A M$ 与 $B M$ 的斜率之积为 $\frac{1}{2}$ ，则点 $M$ 的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} + 2 y^{2} = 2 (x \neq 0)$ B、 $2 x^{2} - y^{2} = 2 (x \neq 0)$ C、 $x^{2} - 2 y^{2} = 2 (x \neq 0)$ D、 $2 y^{2} - x^{2} = 2 (x \neq 0)$

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14、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 2 x \geq 0\}, B = {x ∣ ln x > 0}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(1, 2)$

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15、设 $z = \frac{2 + 4 i}{1 - 3 i}$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、1 B、-1 C、 $- i$ D、 $i$

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16、如图，E为线段AD的中点，C为DA延长线上的一点，以A为圆心，AE长度为半径作半圆，B为半圆上一点，连接BC，BD．

(1)、若 $A D = 2$ ，以BD为边作正三角形BFD，求四边形ABFD面积的最大值；

(2)、在 $△ A B C$ 中，记 $∠ B A C ， ∠ A B C ， ∠ A C B$ 的对边分别为a，b，c，且满足 $(c + b) b = a^{2}$
①求证： $∠ B A C = 2 ∠ A B C$ ；
②求 $\frac{c + 4 b}{b \cos ∠ A B C}$ 的最小值．

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17、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，侧面 $P A D$ 为正三角形，底面 $A B C D$ 为矩形，M是PD的中点，且 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ．

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求直线 $A M$ 与直线 $P B$ 所成角的余弦值；

(3)、求平面 $A B M$ 与平面 $P B C$ 所成二面角的正弦值．

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18、已知甲船在A海岛正北方向 $15 \sqrt{3}$ 海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南 $60 °$ 的方向航行．

(1)、甲船航行3小时到达C处，求AC；

(2)、在A海岛西偏南 $60 °$ 方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由．

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19、一家品牌连锁公司旗下共有100所加盟店．公司在年底对所有加盟店本年度营销总额（单位：百万元）进行统计，制作频率分布表如下：
分组
频数
频率
$[12, 14)$
10
0.1
$[14, 16)$
x
0.15
$[16, 18)$
20
0.2
$[18, 20)$
30
y
$[20, 22)$
15
0.15
$[22, 24)$
5
0.05
$[24, 26]$
5
0.05
合计
100
1.00

(1)、请求出频率分布表中x，y的值，并画出频率分布直方图；

(2)、请估计这100所加盟店去年销售总额的平均数（同一组中的数据，用该组区间的中点值作代表）；

(3)、为了评选本年度优秀加盟店，公司将依据营销总额制定评选标准，按照“不超过 $60 %$ 的加盟店获评优秀加盟店称号”的要求，请根据频率分布直方图，为该公司提出本年度“评选标准”建议．

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20、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，P分别为 $C D$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点．

(1)、求证：直线 $D P / /$ 平面 $A B_{1} E$ ；

(2)、求点A到平面 $B B_{1} E$ 的距离．

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分组	频数	频率
$[12, 14)$	10	0.1
$[14, 16)$	x	0.15
$[16, 18)$	20	0.2
$[18, 20)$	30	y
$[20, 22)$	15	0.15
$[22, 24)$	5	0.05
$[24, 26]$	5	0.05
合计	100	1.00