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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a} = (0, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2 \sqrt{3}, 4)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、 $4 - 2 \sqrt{3}$

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2、已知函数 $f (x) = ln x + x + a$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $b x - y = 0$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、证明： $f (x) < x (e^{x} + ln x - 1) + 1$ ．

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3、某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有两次笔试的机会，最多有两次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若两次笔试均未通过或通过了笔试但两次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，每次参加面试通过的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，且每次考试是否通过相互独立．

(1)、求甲在一年内考试失败的概率；

(2)、求甲在一年内参加考试次数 $X$ 的分布列及期望．

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4、某学校随机调查了1000名学生，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理得到如下列联表：
数学成绩
语文成绩
合计
优秀
不优秀
优秀
400
200
600
不优秀
200
200
400
合计
600
400
1000

(1)、判断是否有99%的把握认为数学成绩与语文成绩有关联？

(2)、按数学成绩是否优秀用分层随机抽样的方法从1000名学生中选取5人，再从这5人中任选3人，求恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．当 $χ^{2} > 6.635$ 时，有99%的把握判断变量A，B有关联．

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 18, a_{2} = 2 a_{1}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{4}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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6、某一电路中，流过的电荷量Q（单位：C）关于时间t（单位：s）的函数为 $Q (t) = 4 t^{2} - 2 \ln t$ ，则在第2秒时该电路的电流为A．

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} \neq \pm 1$ ，且 $a_{n + 1} a_{n} + a_{n + 1} = 2, b_{n} = |\frac{a_{n} + 2}{a_{n} - 1}|$ ，则下列说法正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 可能为常数列 B、数列 $\{b_{n}\}$ 可能为等比数列 C、若 $a_{1} = 2$ ，则 $\sum_{i = 1}^{20} b_{i} = 2^{21} - 2$ D、若 $a_{1} = - \frac{5}{2}$ ，记 $S_{n}$ 是数列 $\{\frac{1}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项积，则 $S_{n}$ 的最大值为 $S_{3}$

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8、已知随机变量X服从正态分布 $N (14, σ^{2})$ ，且 $P (X < a) = P (X > a + 4) = 0.1$ ，则（）

A、 $a = 12$ B、 $a = 11$ C、 $P (12 \leq X \leq 14) = 0.3$ D、 $P (12 \leq X \leq 14) = 0.4$

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9、《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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10、某班举办知识竞赛，已知题库中有 $A, B$ 两种类型的试题， $A$ 类试题的数量是 $B$ 类试题数量的两倍，且甲答对 $A$ 类试题的概率为 $\frac{1}{2}$ ，答对 $B$ 类试题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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11、甲、乙两人同时去乘坐一列有6节车厢的地铁，则两人乘坐的车厢相邻的方案共有（）

A、10种 B、5种 C、12种 D、6种

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12、已知随机变量X服从二项分布 $B (5, \frac{3}{4})$ ，则 $D (X) =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、 $\frac{5}{16}$ D、 $\frac{15}{16}$

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13、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{7} a_{8} = 8 a_{12}$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、2 B、4 C、8 D、16

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14、变量x与y的成对样本数据的散点图如下图所示，据此可以推断变量x与y之间（）

A、可能存在负相关 B、可能存在正相关 C、一定存在正相关 D、一定存在负相关

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15、一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 $60 °$ ，另一灯塔在船的南偏西 $75 °$ ，则这只船的速度是每小时（）

A、5海里 B、 $5 \sqrt{3}$ 海里 C、10海里 D、 $10 \sqrt{3}$ 海里

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16、已知随机事件A，B的概率都大于0， $\bar{A}$ 表示事件A的对立事件，则（）

A、当 $P (\bar{A} B) = P (\bar{A}) \cdot P (B)$ 时， $A, B$ 相互独立 B、当 $\bar{A} \subseteq B$ 时， $P (A) \geq P (B)$ C、当 $P (A B) > 0$ 时， $P (\bar{A} B) < P (B)$ D、当 $P (A) + P (B) = 1$ 时， $B = \bar{A}$

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17、已知定点 $F (0, \frac{1}{2})$ ，直线 $l : y = - \frac{1}{2}$ ，动圆过点 $F$ 且与直线 $l$ 相切，动圆圆心的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线C的方程；

(2)、若 $a$ 为正数，圆 $x^{2} + {(y - a)}^{2} = a^{2}$ 与曲线 $C$ 只有一个交点，求正数 $a$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下所得到半径最大的圆记为圆 $M$ ，点 $P (x_{0}, y_{0})$ 是曲线 $C$ 上一点，且 $y_{0} > 2$ ，过 $P$ 作圆 $M$ 的两条切线，分别交 $x$ 轴于 $A, B$ 两点，求 $△ P A B$ 面积的最小值.

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18、已知函数 $f (x) = ln x + \frac{1 - x}{a x}, x = 1$ 为函数 $f (x)$ 的极值点.

(1)、求实数 $a$ 的值，并求出 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $x \in [\frac{1}{2}, 2]$ 时，关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 有两个不相等实数根 $x_{1}, x_{2}$ .
①求实数 $m$ 的范围；
②求证 $x_{1} x_{2} > 1$ .

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19、如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面垂直， $A A_{1} = A B = A C = 2, B C = 2 \sqrt{2}$ ， $M, N$ 分别是 $C C_{1}, B C$ 的中点，点 $P$ 为线段 $A_{1} B_{1}$ 上一点， $|A_{1} P| = a$ .

(1)、证明： $A M ⊥ P N$ ；

(2)、若平面 $P M N$ 与平面 $A B C$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，试求 $a$ 的值.

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20、已知 $S_{n}, T_{n}$ ，分别是数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $S_{5} = 25, a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n \in N^{*})$ ， $2 T_{n} = 3 b_{n} - 3 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $R_{n}$ .

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数学成绩	语文成绩		合计
数学成绩	优秀	不优秀	合计
优秀	400	200	600
不优秀	200	200	400
合计	600	400	1000