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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，过 $△ A B C$ 内一点M的直线l与直线AB交于D，记 $\vec{B A}$ 与 $\vec{D M}$ 夹角为 $θ$ .

(1)、已知 $c - a \cos B = b \sin A$ ，
（i）求角A﹔
（ii）M为 $△ A B C$ 的重心， $b = c = 1, θ = 30 °$ ，求 $|\vec{A D}|$ ；

(2)、请用向量方法探究 $θ$ 与 $△ A B C$ 的边和角之间的等量关系.

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2、如图， $△ A B C$ 绕边BC旋转得到 $△ D B C$ ，其中 $A C = B C = 2$ ， $A C ⊥ B C, A E ⊥$ 平面ABC， $D E$ ∥ $A C$ ．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面ACD；

(2)、若二面角 $B - D E - C$ 的平面角为 $60 °$ ，求锐二面角 $D - C B - A$ 平面角的正弦值．

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3、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是单位向量，满足 $|\vec{a} - 2 \vec{b}| = \sqrt{7}$ ，记 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为 $θ$ ．

(1)、求 $θ$ ；

(2)、若平面向量 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\vec{a}, \vec{b} \cdot \vec{c} = 1$ ，求 $|\vec{c}|$ ．

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4、已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为2．

(1)、求该圆台的体积；

(2)、求该圆台母线与下底面所成角的余弦值．

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5、与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD满足 $A B = B C = C D = D A = 6$ ， $B D = 8$ ，且四面体ABCD有棱切球，则AC的长为．

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6、设样本空间 $Ω = \{1, 2, 3, 4\}$ 含有等可能的样本点， $A_{1} = \{1, 2\}, A_{2} = \{1, 3\}, A_{3} = \{1, 4\}$ ，则 $\frac{P (A_{1} A_{2} A_{3})}{P (A_{1}) P (A_{2}) P (A_{3})} =$ ．

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7、已知 $2 i - 3$ 是关于x的实系数方程 $2 x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，则实数p的值为．

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8、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为1，E，F分别为棱 $B_{1} C_{1}$ ， AD（含端点）上的动点，记过C，E，F三点的平面为 $α$ ，记 $d_{1}$ 为点B到平面 $α$ 的距离， $d_{2}$ 为点 $D_{1}$ 到平面 $α$ 的距离，则满足条件（）的 $α$ 是不唯一的．

A、 $d_{1} + d_{2} = \sqrt{2}$ B、 $d_{1} + d_{2} = \sqrt{3}$ C、 $d_{1} - d_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $2 d_{1} + d_{2} = \sqrt{6}$

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9、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{c}| = \vec{a} \cdot \vec{b} = 2, |\vec{a} - λ \vec{b}| \geq |\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}|$ 对任意实数 $λ$ 恒成立．若对每一个确定的 $\vec{c}$ ，对任意实数m，n， $|\vec{c} - m \vec{a}| + |\vec{c} - n \vec{b}|$ 有最小值t．当 $\vec{c}$ 变化时，t的值域为 $[x, y]$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $2 + 2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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10、已知样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{9}$ 的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据 $x_{10}$ ，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（）

A、18.2 B、19.6 C、19.8 D、21.7

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11、在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且 $\sqrt{3} (a^{2} + c^{2} - b^{2}) = 4 S$ ，若 $c = 1$ ，则 $△ A B C$ 面积的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{\sqrt{3}}{4})$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{8}, + \infty)$

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12、数据：1，1，2，3，3，5，5，7，7，x的 $40 %$ 分位数为2.5，则x可以是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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13、如图，某校数学兴趣小组对古塔AB进行测量，AB与地面垂直，从地面C点看塔顶A的仰角 $β$ 为 $60 °$ ，沿直线BC前行20米到点D此时看塔顶A的仰角 $α$ 为 $30 °$ ，根据以上数据可得古塔AB的高为（）米.

A、 $10 \sqrt{3}$ B、20 C、10 D、 $10 \sqrt{2}$

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14、复数 $\frac{i^{2024}}{1 + i} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$

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15、设 $m$ 是一条直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m // β$ B、若 $α ⊥ β$ ， $m // α$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $α // β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m ⊥ β$ D、若 $α // β$ ， $m // α$ ，则 $m // β$

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16、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (t, - 1)$ ，若 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则 $t =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、3

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17、设 $z$ ， $z_{1}$ ， $z_{2}$ 为复数， $z_{1} \neq z_{2}$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $z z_{1} = z z_{2}$ 则 $z = 0$ B、若 $\bar{z_{1}} = z_{2}$ 则 $|z z_{1}| = |z z_{2}|$ C、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} + z_{2}|$ 则 $z_{1} z_{2} = 0$ D、 $|z_{1} + z_{2}| \leq |z_{1}| + |z_{2}|$

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18、甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，则甲以 $3 : 1$ 的比分获胜的概率为．

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19、下列命题正确的是（）

A、命题“对任意 $x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 < 0$ ”的否定是“存在 $x \notin R$ ，使得 $x^{2} + x + 1 \geq 0$ ” B、“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件是“ $a > 1$ ” C、设 $x, y \in R$ ，则“ $x \geq 2$ 且 $y \geq 2$ ”是“ $x^{2} + y^{2} \geq 4$ ”的充分不必要条件 D、设 $a, b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ ”是“ $a b \neq 0$ ”的充分不必要条件

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20、设 $n$ 为正整数， $α = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ， $β = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ ，记 $M (α, β) = \frac{1}{2} [(x_{1} + y_{1} - |x_{1} - y_{1}|) + (x_{2} + y_{2} - |x_{2} - y_{2}|) + \dots + (x_{n} + y_{n} - |x_{n} - y_{n}|)]$ .

(1)、当 $n = 2$ 时，若 $α = (1, 0)$ ， $β = (0, 1)$ ，求 $M (α, β)$ 的值；

(2)、当 $n = 3$ 时，设集合 $P = \{α | α = (t_{1}, t_{2}, t_{3}), t_{k} \in \{0, 1\}, k = 1, 2, 3\}$ ，设 $Q$ 是 $P$ 的子集，且满足：对于 $Q$ 中的任意两个不同的元素 $α, β$ ， $M (α, β) = 0$ .写出一个集合 $Q$ ，使其元素个数最多；

(3)、当 $n = 3$ 时， $α = (\sin A, \sin B, \sin C)$ ， $β = (\cos A, \cos B, \cos C)$ ，其中 $A, B, C$ 是锐角 $△ A B C$ 的三个内角，证明： $M (α, β) < 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ .

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