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相关试卷

1、已知 $a \geq 1$ ，函数 $f (x) = \ln (x + 3) + x + \ln a$ .

(1)、若 $a = 1$ ，解不等式 $f (x) < x + 1$ ；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 有唯一零点；

(3)、设 $f (x_{0}) = 0$ ，证明： $\frac{3 a}{x_{0} + 3} - \ln (x_{0} + 3) > 0$ .

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C ∥ A D$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $A D ⊥ C D$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $C E / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若三棱锥 $P - A B D$ 的体积为 $\frac{2}{3}$ ，求 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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3、本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试，并从中随机抽取了100名学生的成绩，被抽取的成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按照如下方式分成六组：第一组 $[40, 50)$ ，第二组 $[50, 60)$ ， …，第六组 $[90, 100]$ ，画出频率分布直方图如图所示.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求该样本的中位数；

(3)、为进一步了解学生的学习情况，从分数位于 $[50, 80)$ 的学生中，按照第二组，第三组，第四组分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数不在同一组内的概率.

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4、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + 2 \cos^{2} x - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值，以及相应 $x$ 的值.

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5、已知 $x > y > 0$ ， $\frac{3}{x + y} + \frac{2}{x - y} = 1$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为.

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6、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， ${sin}^{2} α = cos 2 α$ ，则 $tan α =$ .

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{2}{1 - x}, x \leq 0 \\ x^{2}, x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ .

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8、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2 A D = 2$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点，沿直线 $D E$ 将 $△ A D E$ 翻折成 $△ A_{1} D E$ （ $A_{1}$ 不在平面 $B C D$ 内）， $M$ 是 $A_{1} C$ 的中点，设二面角 $A_{1} - D E - C$ 的大小为 $θ$ .（）

A、若 $θ = \frac{π}{2}$ ，则 $A_{1} C ⊥ D E$ B、直线 $B M$ 与 $A_{1} E$ 所成的角为定值 C、若 $θ = \frac{2π}{3}$ ，则三棱锥 $A_{1} - C D E$ 的外接球的表面积为 $\frac{14}{3} π$ D、设直线 $A_{1} D$ 与平面 $B C D E$ 所成的角为 $α$ ，则 $\sin θ = \sqrt{2} \sin α$

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9、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $c = 2$ ，以下判断正确的是（）

A、若 $a = 4$ ，则 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ B、若 $C = \frac{π}{4}$ ，则 $b = \sqrt{3}$ C、若 $b = \sqrt{7}$ ，则 $a = 3$ D、若 $△ A B C$ 有两解，则 $b \in (\sqrt{3}, 2)$

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10、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ， $\vec{c} = (3, - 1)$ ，则（）

A、 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $|\vec{a} + \vec{b}| = 10$ D、向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{c}$ 上的投影向量为 $(\frac{3}{10}, - \frac{1}{10})$

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11、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x)$ 的图象关于 $(1, 0)$ 中心对称， $f (2 x + 2)$ 是偶函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (\frac{1}{2}) = 0$ C、 $f (2) = 0$ D、 $f (3) = 0$

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12、一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件 $A =$ “第一次摸出球的标号小于3”，事件 $B =$ “第二次摸出球的标号小于3”，事件 $C =$ “第一次摸出球的标号为奇数”，则（）

A、 $A$ 与 $B$ 互斥 B、 $A$ 与 $B$ 相互独立 C、 $A$ 与 $C$ 互斥 D、 $A$ 与 $C$ 相互独立

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13、若样本 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $\dots$ ， $x_{n}$ 的平均数为10，方差为20，则样本 $2 (x_{1} - 2)$ ， $2 (x_{2} - 2)$ ， $2 (x_{3} - 2)$ ， $\dots$ ， $2 (x_{n} - 2)$ 的平均数和方差分别为（　　）

A、16，40 B、16，80 C、20，40 D、20，80

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14、已知直线 $a, b$ 和平面 $α$ ，则下列判断中正确的是（）

A、若 $a / / α, b / / α$ ，则 $a / / b$ B、若 $a / / b, b / / α$ ，则 $a / / α$ C、若 $a / / α, b ⊥ α$ ，则 $a ⊥ b$ D、若 $a ⊥ b, b / / α$ ，则 $a ⊥ α$

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15、已知复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $|z| =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、 $\sqrt{2}$

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16、已知集合 $M = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ， $N = \{x| 1 < x \leq 4\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{2, 3, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4\}$

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17、已知 $z$ 为复数， $z + 2 i$ 为实数，且 $z (1 - 2 i)$ 为纯虚数，其中 $i$ 是虚数单位.

(1)、求 $| z |$ ；

(2)、若复数 ${(\bar{z} + m i)}^{2}$ 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 $m$ 的取值范围.

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18、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c,$ 若满足 $2 a \cos B = c$ ，则该三角形为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、不能确定

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19、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 短轴长为2，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 的直线l与椭圆C交于M，N两点，其中M，N分别在x轴上方和下方， $\vec{M P} = \vec{P F_{1}}$ ， $\vec{N Q} = \vec{Q F_{1}}$ ，直线 $P F_{2}$ 与直线MO交于点 $G_{1}$ ，直线 $Q F_{2}$ 与直线NO交于点 $G_{2}$ ．

(1)、若 $G_{1}$ 的坐标为 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{6})$ ，求椭圆C的方程；

(2)、在（1）的条件下，过点 $F_{2}$ 并垂直于x轴的直线交C于点B，椭圆上不同的两点A，D满足 $|F_{2} A|$ ， $|F_{2} B|$ ， $|F_{2} D|$ 成等差数列．求弦AD的中垂线的纵截距的取值范围；

(3)、若 $4 S_{△ M N G_{2}} \leq 3 S_{△ N F_{1} G_{1}} \leq 5 S_{△ M N G_{2}}$ ，求实数a的取值范围．

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20、四月的武汉被百万株蔷薇花覆盖，形成了全城的花海景观。蔷薇花一般扦插繁殖，园林局为了更好的了解扦插枝条的长度对繁殖状况的影响，选择甲乙两区按比例分层抽样来抽取样本．已知甲区的样本容量 $m = 12$ ，样本平均数 $\bar{x} = 18$ ，样本方差 $s_{1}^{2} = 19$ ；乙区的样本容量 $n = 18$ ，样本平均数 $\bar{y} = 36$ ，样本方差 $s_{2}^{2} = 70$ ．

(1)、求由两区样本组成的总样本的平均数 $\bar{z}$ 及其方差 $S^{2}$ ；（结果保留一位小数）

(2)、为了营造“花在风中笑，人在画中游”的美景，甲乙两区决定在各自最大的蔷薇花海公园进行一次书画比赛，两区各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲区举行．比赛规则如下：每场比赛分出胜负，没有平局，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲区举行时，甲区代表队获胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，当比赛在乙区举行时，甲区代表队获胜的概率为 $\frac{1}{2}$ ．假设每场比赛结果相互独立.甲区代表队的最终得分记为X，求X的分布列及 $E (X)$ 的值．
参考数据： $12 \times 18^{2} = 3888 ， 18 \times 36^{2} = 23328 ， {28.8}^{2} = 829.44 ， 12 \times {10.8}^{2} = 1399.68 ， 18 \times {7.2}^{2} = 933.12$ ．

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