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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{2 x}$ ， $g (x) = m (2 x + 1) (m \in R)$ ， $h (x) = f (x) - g (x)$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求函数 $h (x)$ 的最小值；

(2)、若直线 $y = g (x)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线，求证：对任意的 $a > b$ ，都有 $\frac{h (a) - h (b)}{a - b} < 2 e^{2 a} - 2$ .

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2、记 $S_{n} (x) = x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{n} - 2 (x \in R, n \in N^{*})$ .

(1)、当 $x = 2$ 时， $S_{n} (2)$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 ${S^{'}}_{2024} (x)$ 是 $S_{2024} (x)$ 的导函数，求 ${S^{'}}_{2024} (2)$ .

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3、若 $f (x) = \frac{x^{x - 1}}{\ln x} + x^{x - 2} - e^{x}$ ，设 $f (x)$ 的零点分别为 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} [x_{i}] =$ .（其中 $[a]$ 表示a的整数部分，例如： $[2.1] = 2, [π] = 3$ ）

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4、某校数学建模社团对校外一座山的高度h(单位： $m$ )进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a米两处分别观测山顶的仰角 $α$ 和 $β$ ( $β > α$ )，多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型 $h =$ ；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n次测量，其误差 $ε_{n}$ 近似满足 $ε_{n} \sim N (0, \frac{2}{n})$ ，为使误差 $ε_{n}$ 在 $(- 0.5, 0.5)$ 的概率不小于0.9973，至少要测量次.参考数据：若占 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - 3 σ < ξ, μ + 3 σ) = 0.9973$ .

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5、爆竹声声辞旧岁，银花朵朵贺新春．除夕夜里小光用3D投影为家人进行虚拟现实表演，表演分为“燃爆竹、放烟花、辞旧岁、迎新春”4个环节．小光按照以上4个环节的先后顺序进行表演，每个环节表演一次．假设各环节是否表演成功互不影响，若每个环节表演成功的概率均为 $\frac{3}{4}$ ，则（）

A、事件“成功表演燃爆竹环节”与事件“成功表演辞旧岁环节”互斥 B、“放烟花”、“迎新春”环节均表演成功的概率为 $\frac{9}{16}$ C、表演成功的环节个数的期望为3 D、在表演成功的环节恰为3个的条件下“迎新春”环节表演成功的概率为 $\frac{3}{4}$

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6、甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（）

A、 $\frac{209}{277}$ B、 $\frac{210}{277}$ C、 $\frac{211}{277}$ D、 $\frac{212}{277}$

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7、对于函数 $f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) > f^{'} (x)$ .锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b cos C + c cos B > a cos C + c cos A$ ，设 $x_{1} = \frac{a}{b}$ ， $x_{2} = \frac{sin A}{sin B}$ ， $x_{3} = \frac{A}{B}$ ，则（）

A、 $\frac{f (x_{1})}{e^{x_{1}}} > \frac{f (x_{2})}{e^{x_{2}}} > \frac{f (x_{3})}{e^{x_{3}}}$ B、 $\frac{f (x_{1})}{e^{x_{1}}} < \frac{f (x_{2})}{e^{x_{2}}} < \frac{f (x_{3})}{e^{x_{3}}}$ C、 $\frac{f (x_{1})}{e^{x_{1}}} = \frac{f (x_{2})}{e^{x_{2}}} > \frac{f (x_{3})}{e^{x_{3}}}$ D、 $\frac{f (x_{1})}{e^{x_{1}}} = \frac{f (x_{2})}{e^{x_{2}}} < \frac{f (x_{3})}{e^{x_{3}}}$

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8、在 ${|x - \frac{1}{\sqrt{x}}|}^{n}$ 的展开式中含 $x^{3}$ 项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是（）

A、第4项 B、第5项 C、第6项 D、第3项

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9、设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上的一点， $\vec{P F} \cdot \vec{O P} + \vec{P F} \cdot \vec{O F} = 0$ ， $\vec{F O}$ 在 $\vec{F P}$ 上的投影向量的模为 $\frac{4}{5} |\vec{O F}|$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10、某学校校医研究温差 $x$ （℃）与本校当天新增感冒人数y（人）的关系，该医生记录了5天的数据，且样本中心点为 $(8, 25)$ ．由于保管不善，记录的5天数据中有两个数据看不清楚，现用 $m, n$ 代替，已知 $18 \leq m \leq 24$ ， $26 \leq n \leq 34$ ，则下列结论正确的是（）
x
5
6
8
9
12
y
17
m
25
n
35

A、在 $m, n$ 确定的条件下，去掉样本点 $(8, 25)$ ，则样本的相关系数r增大 B、在 $m, n$ 确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程 $\hat{y} = 2.6 x + \hat{a}$ ，则 $\hat{a} = 4$ C、在 $m, n$ 确定的条件下，经过拟合，发现基本符合线性回归方程 $\hat{y} = 2.6 x + \hat{a}$ ，则当 $x = 12$ 时，残差为 $0.4$ D、事件“ $m = 20$ ， $n = 28$ ”发生的概率为 $\frac{1}{5}$

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11、若 $f (x) = a \ln x + b x^{2} + x$ 在 $x = 1$ 和 $x = 2$ 处有极值，则函数 $f (x)$ 的单调递增区间是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(\frac{1}{2}, 1]$

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12、已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = k) = \frac{1}{2^{k}}, k = 1, 2, 3, \dots$ ，则 $P (1 < X \leq 6) =$ （）

A、 $\frac{17}{32}$ B、 $\frac{15}{32}$ C、 $\frac{33}{64}$ D、 $\frac{31}{64}$

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，且 $a_{1} + 2 a_{4} + 3 a_{9} = 24$ ，则 $S_{11} =$ （）

A、33 B、44 C、66 D、88

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14、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点和椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点相同，点 $A, B$ 的坐标分别为 $A (2, - 2), B (- 2, 0), M$ 是抛物线上的点，设直线 $A M, B M$ 与抛物线的另一交点分别为 $E, P$ ．

(1)、求抛物线的标准方程；

(2)、求证：当点 $M$ 在抛物线上变动时（只要点 $E, P$ 存在，且点 $E$ 与点 $P$ 不重合），直线 $E P$ 恒过定点，并求出定点坐标．

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为递增的等差数列， $a_{1} = f (x + 1)$ ， $a_{2} = 0$ ， $a_{3} = f (x - 1)$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 4 x + 2$ ．
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_{n} = \frac{a_{n} + 3}{2^{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；
（3）设 $c_{n} = a_{n} + 3$ ，求使不等式 $(1 + \frac{1}{c_{1}}) + (1 + \frac{1}{c_{2}}) \cdot \cdot \cdot (1 + \frac{1}{c_{n}}) \geq p \sqrt{2 n + 1}$ 对一切 $n \in N^{*}$ 均成立的最大实数 $p$ ．

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16、如图所示，等边 $△ A B C$ 所在平面与菱形 $A C D E$ 所在平面相垂直， $A C = 2$ ， $∠ E A C = 120 °$ ， $B C / / F D$ ， $F D = 1$

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求平面 $A B C$ 与平面 $B E F$ 所成角的余弦值.

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17、中国在第75届联合国大会上承诺，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)．新能源电动汽车作为战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．赛力斯汽车有限公司为了调查客户对旗下AITO问界M7的满意程度，对所有的意向客户发起了满意度问卷调查，将打分在80分以上的客户称为“问界粉”．现将参与调查的客户打分(满分100分)进行了统计，得到如下的频率分布直方图：

(1)、估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数)；

(2)、按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取10名客户前往重庆赛力斯两江智慧工厂参观，在10名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2万元的购车抵用券．记获赠购车券的“问界粉”人数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望 $E (ξ)$ ．

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18、如图，经过边长为1的正方体的三个顶点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是．

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19、若对于任意正数 $x_{1}, x_{2}$ ，不等式 $a x_{2} \geq x_{1} (ln x_{2} - ln x_{1} - 1)$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值为.

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20、已知 ${(x^{3} + \frac{1}{x^{2}})}^{n}$ 的二项展开式中各项系数和为 $1024$ ，则展开式中常数项的值为.

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