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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{°}$ ， $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 上的投影向量的模为．

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2、下列说法正确的是（）

A、复数 $2 + i$ 的模为 $\sqrt{5}$ B、复数 $z = 1 - i$ 的虚部为﹣1 C、若 $z_{1} = 2 i, z_{2} = i$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ D、若复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$

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3、如图，矩形ABCD中， $A B = 1, B C = \sqrt{3}$ ．面积为 $\sqrt{3}$ 的平行四边形ACEF绕AC旋转，且 $E \notin$ 平面ABCD，则（）

A、平面 $E F B ⊥$ 平面EFD B、平面 $A B F ⊥$ 平面ABC C、平面 $A B F ⊥$ 平面BCF D、平面 $A B F ⊥$ 平面ADF

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4、如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，其中 $n (Ω) = 24, n (A) = 12, n (B) = 8$ ， $n (C) = 5, n (A \cup B) = 16$ ，则（）

A、事件A与事件B互斥 B、事件A与事件B相互独立 C、事件A与事件C互为对立 D、事件A与事件C相互独立

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5、如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 4$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $E$ 为 $A B$ 中点，现将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起至 $△ A^{'} D E$ ，连接 $A^{'} B$ ， $A^{'} C$ ，且 $A^{'} C = 4$ .

(1)、求证：平面 $A^{'} D E ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、已知 $\vec{A^{'} F} = λ \vec{A^{'} C} (0 < λ < 1)$ .
（i）若 $λ = \frac{1}{2}$ ，求证： $B F ∥$ 平面 $A^{'} D E$ ；
（ii）若直线 $D F$ 与平面 $B C D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ ，求 $λ$ 的值.

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6、为贯彻“阳光体育”计划，促进学生身心素养的提高，某校倡导全校学生积极参与体育运动，并统计学生一周内运动时长，发现时长均在区间 $[2, 12]$ 之间（单位：小时）.

(1)、将全校男生一周内运动时长分为 $[2, 4]$ ， $(4, 6]$ ， $(6, 8]$ ， $(8, 10]$ ， $(10, 12]$ 五组，并绘制如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.求该校男生一周运动时长的平均数 $\bar{x}$ 和中位数 $y$ ；

(2)、已知高二（1）班男生30人，女生20人，根据数据统计分析，发现该班男生一周内运动时长的平均数为9，方差为2；女生一周内运动时长的平均数为6.5，方差为4.求该班级全体学生一周内运动时长的方差 $s^{2}$ .

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7、已知向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是不共线的单位向量，且向量 $\vec{a} = x \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} - x \vec{e_{2}}$ .

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求 $x$ 的值；

(2)、若 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = - \frac{1}{2}$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $|\vec{b}|$ .

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8、已知 $a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}} = 2$ ，则 $a^{2} + a^{- 2} =$ .

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9、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $2 \sqrt{3} S + b c cos A = b^{2} + c^{2}$ ，则 $\frac{sin A}{cos B + cos C} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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10、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $|\vec{b}| = 2 |\vec{a}|$ ，且向量 $\vec{a} - λ \vec{b}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- 2 \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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11、已知三个不同的平面 $α, β, γ$ ，且 $α ⊥ γ$ ，则“ $β ⊥ γ$ ”是“ $α / / β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，随机抽查了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），将所得到的数据分成7组： $[5, 10)$ ， $[10, 15)$ ， $[15, 20)$ ， $[20, 25)$ ， $[25, 30)$ ， $[30, 35)$ ， $[35, 40]$ （棉花纤维的长度均在 $[5, 40]$ 内），绘制得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求 $a$ 的值，并估计棉花纤维的长度的众数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作为代表）；

(2)、估计棉花纤维的长度的75%分位数．

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13、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, \frac{\cos C}{c} = \frac{\cos A}{4 b - a}$ ．

(1)、求 $\sin C$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ ，且 $a + b = \frac{2 \sqrt{6}}{3} c$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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14、在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = 3 \vec{D C}$ ，且 $\vec{A D} = 3 \vec{A E}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{11}{12} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{12} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{A C} - \frac{11}{12} \vec{A B}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{A C} - \frac{1}{12} \bar{A B}$

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15、已知离散型随机变量X的概率分布如表，离散型随机变量Y满足 $Y = 2 X - 1$ ，则 $P (Y \geq 3) =$ （）
X
0
1
2
3
P
a
$\frac{1}{3}$
5a
$\frac{1}{6}$

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{3}{4}$

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16、已知集合 $A = \{x| - 1 < x < 2\}$ ， $B = \{x| 0 < x < 1\}$ ，则（）

A、 $A > B$ B、A $\subseteq$ B C、B $\subseteq$ A D、 $A = B$

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17、已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) - \frac{a x}{x + 1} (a > 0)$ .

(1)、若 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的一个极值点，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 在 $[0, + \infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、证明： ${(\frac{2024}{2023})}^{2024} > e$ （ $e$ 为自然对数的底数）.

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18、已知 $\{a_{n}\}$ 数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}, S_{n} = 2 a_{n} - 3 n (n \in N^{*})$ .

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 3\}$ 是等比数列，并求出数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n}{3} (a_{n} + 3)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、数列 $\{a_{n}\}$ 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（直接写出结论，不要求证明）.

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19、已知 $a \in N^{*}$ ，函数 $f (x) = e^{x} - x^{a} > 0$ 恒成立，则 $a$ 的最大值为.

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20、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的左､右焦点， $P$ 为椭圆上一点且 $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为.

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X	0	1	2	3
P	a	$\frac{1}{3}$	5a	$\frac{1}{6}$