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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ．

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 为等差数列；

(2)、求 $\{\frac{1}{a_{n}} \cdot 2^{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ；

(3)、数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若对于任意 $n \in N^{*}, 2^{n} \cdot λ \geq S_{n}$ 成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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2、如图，已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{12}$ ，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ， $△ A B C$ 是以 $B$ 为直角顶点的等腰直角三角形，且 $A B = 2 A A_{1} = 2 A_{1} B_{1} = 2 B B_{1}$ ，

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求点 $B$ 到面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离；

(3)、在线段 $C C_{1}$ 上是否存在点 $F$ ，使得二面角 $F - A B - C$ 的大小为 $\frac{π}{6}$ ，若存在，求出 $C F$ 的长，若不存在，请说明理由.

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3、设 $D$ 为 $Δ A B C$ 所在平面内一点，若 $\overset{⇀}{B C} = 3 \overset{⇀}{C D}$ ，则下列关系中正确的是

A、 $\overset{⇀}{A D} = - \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{4}{3} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{4}{3} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{4}{3} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\overset{⇀}{A D} = \frac{4}{3} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{3} \overset{⃑}{A C}$

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4、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ ， $F$ 分别为 $A D_{1}$ ， $C D_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B C D$ .

(2)、求异面直线 $E F$ 与 $B C_{1}$ 所成角的大小.

(3)、求直线 $B D$ 与平面 $D_{1} E F$ 所成角的正切值.

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5、在① $a \cos B + b \cos A = 2 c - 4 c \sin^{2} \frac{C}{2}$ ， ② $2 \vec{C A} \cdot \vec{C B} = c^{2} - {(a - b)}^{2}$ ， ③ $2 \sin^{2} \frac{A + B}{2} + \cos 2 C = 1$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且___________， $\cos A = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ .
（1）求角 $C$ 的大小；
（2）若 $c = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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6、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) + B$ 的一部分图象如图所示，如果 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的取值范围．

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7、如图所示， $A D$ 是△ABC的一条中线，点 $O$ 满足 $\vec{A O} = 2 \vec{O D}$ ，过点 $O$ 的直线分别与射线 $A B$ ，射线 $A C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、若 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，求 $λ ， μ$ 的值；

(2)、设 $\vec{A M} = m \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = n \vec{A C}$ ， $m > 0$ ， $n > 0$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值；

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8、已知边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 30^{\circ}, E$ 是边 $A D$ 所在直线上的一点，则 $\vec{E B} \cdot \vec{E C}$ 的取值范围为．

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9、已知 $f (x)$ 是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数 $y = \sin (ω x + φ)$ $(ω > 0, 0 < φ < π)$ 图象的一部分(如图所示)，则（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $[- π, π]$ B、当 $x = \frac{π}{6}$ 时， $f (x)$ 取得最大值 C、当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{2 π}{3}, - \frac{π}{6}]$ D、当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 有且只有两个零点 $- \frac{5 π}{12}$ 和 $- \frac{11 π}{12}$

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10、如图，三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}, A B ⊥ B C, A C ⊥ B B_{1}$ ，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C, A B = 6$ ， $B C = 4, B B_{1} = 2, A C_{1}$ 与 $A_{1} C$ 相交于点 $D, \vec{A E} = 2 \vec{E B}$ ，且 $D E / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ．

(1)、求三棱锥 $C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积；

(2)、平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $α, C C_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C$ 所成角为 $β$ ，求 $α + β$ 的值．

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11、已知函数 $f (x) = (a - 1) \ln x - \frac{1}{2} x^{2} + x$ ， $a \in R$ ．
（1）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $y = 2 x$ 平行，证明： $f (x) \leq \ln 4$ ；
（2）设 $g (x) = \frac{2 x - a}{x} - \frac{1}{2} x^{2}$ ，若对 $\forall x \in (1, + \infty)$ ，均有 $f (x) + 4 > g (x)$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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12、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 9$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的最值.

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{3} + x^{2}, x \leq 0 \\ \frac{ln x}{x}, x > 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 恰有一个实根，则实数 $m$ 的取值范围是

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14、如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种．

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15、已知函数 $f (x) = 2 \sin x - e^{x} + e^{- x}$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (x^{2} - 4) + f (3 x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 4, 1)$ B、 $(- 1, 4)$ C、 $(- \infty, - 4) \cup (1, + \infty)$ D、 $[- 1, 4]$

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16、如图所示，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2$ ，直线 $y = x$ 被椭圆 $C$ 截得的弦长为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设点 $M (x_{0}, y_{0})$ 是椭圆 $C$ 上的动点，过原点 $O$ 引两条射线 $l_{1}, l_{2}$ 与圆 $M : {(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = \frac{2}{3}$ 分别相切，且 $l_{1}, l_{2}$ 的斜率 $k_{1}, k_{2}$ 存在. ①试问 $k_{1} \cdot k_{2}$ 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由；
②若射线 $l_{1}, l_{2}$ 与椭圆 $C$ 分别交于点 $A, B$ ，求 $|O A| \cdot |O B|$ 的最大值.

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17、已知圆C： ${(x - a)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，四点P₁(1，1)，P₂(0，2)，P₃(1， $\sqrt{3}$ )，P₄(1，- $\sqrt{3}$ )中恰有三点在圆C上．

(1)、求圆C的方程；

(2)、设以k为斜率的直线l经过点Q(4，-2)，但不经过点P₂ ，若l与圆C相交于不同两点A，B．
①求k的取值范围；
②证明：直线P₂A与直线P₂B的斜率之和为定值．

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18、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ ， $E$ 分别是棱 $A B$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点， $A C = B C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ .

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，并求直线 $D E$ 与平面 $A B C_{1}$ 所成的角的正弦值.
条件①： $B C ⊥ A C_{1}$ ；条件②： $D E ⊥ B_{1} C_{1}$ ；

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19、2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组： $[0, 40)$ ， $[40, 80)$ ， $[80, 120)$ ， $[120, 160)$ ， $[160, 200)$ ， $[200, 240)$ ， $[240, 280]$ （观看时长均在 $[0, 280]$ 内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图.

(1)、求 $a$ 的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、采用分层抽样的方法在观看时长在 $[200, 240)$ 和 $[240, 280]$ 的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在 $[200, 240)$ 的概率.

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20、已知函数 $f (x) = sin ω x + \sqrt{3} cos ω x + t (ω > 0)$ ，且 $f (x)$ 的最大值为3，最小正周期为 $π$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{6}]$ 上的值域，并指出 $f (x)$ 取得最大值时自变量 $x$ 的值.

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