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相关试卷

1、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 与 $B A A_{1} B_{1}$ 是边长为2的正方形，平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $B A A_{1} B_{1}$ ， $M, N$ 分别在 $B C_{1}$ 和 $A B_{1}$ 上，且 $B M = A N = a (0 < a < 2 \sqrt{2})$ ，则（）

A、直线 $M N //$ 平面 $A B C$ B、当 $a = 1$ 时，线段 $M N$ 的长最小 C、当 $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，直线 $M N$ 与平面 $B A A_{1} B_{1}$ 所成角的正切值为 $\frac{1}{3}$ D、当 $a = \sqrt{2}$ 时，平面 $M N B$ 与平面 $M N B_{1}$ 夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$

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2、下列四个命题中，正确命题的有（）

A、已知向量 $\vec{a} = (1, 3, 1)$ ， $\vec{b} = (2, 1, 1)$ ， $\vec{c} = (t, 5, 1)$ 共面，则实数t的值为0 B、若向量 $\vec{a} = (2, - 1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 4, 2, m)$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则实数m的取值范围为 $m < 5$ C、已知直线l的方向向量为 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ，点 $A (1, 2, - 1)$ 在l上，则点 $P (2, 1, 1)$ 到l的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、若两个不同平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别是 $\vec{u}$ ， $\vec{v}$ ，且 $\vec{u} = (1, 2, - 2)$ ， $\vec{v} = (- 2, - 4, 4)$ ，则 $α / / β$

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3、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点E是棱 $C C_{1}$ 的中点，动点P在正方形 $A A_{1} B_{1} B$ 内（包括边界）运动，且 $P D_{1} ∥$ 平面 $B D E$ ，则 $P C$ 长度的取值范围为（）

A、 $[5, 6]$ B、 $[4 \sqrt{2}, 6]$ C、 $[\frac{12 \sqrt{5}}{5}, 6]$ D、 $[2 \sqrt{5}, 6]$

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4、如图，点P为矩形 $A B C D$ 所在平面外一点， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， Q为 $A P$ 的中点， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $P A = 2$ ，则点P到平面 $B Q D$ 的距离为（）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $\frac{12}{13}$ C、 $\frac{13}{5}$ D、 $\frac{13}{12}$

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5、已知点D在 $△ A B C$ 确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，满足 $\vec{C D} = 2 \vec{O C} - x \vec{O A} - y \vec{O B}$ ，且 $x > 0$ ， $y > 0$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3}{2} + \sqrt{2}$ C、 $\frac{9}{4} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $3 + 2 \sqrt{2}$

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6、同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件 $A =$ “ $2^{x + y} = 64$ ”，事件 $B =$ “ $x y$ 不能被2整除”，则 $P (A \cup B) =$ （）

A、 $\frac{7}{18}$ B、 $\frac{13}{36}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{11}{36}$

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7、已知某运动员每次投篮命中的概率都为 $40 %$ ，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 123 436 730 257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{5}{8}$

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8、已知点 $A (1, - 2, - 1)$ ，点C与点A关于平面Oxy对称，点B与点A关于z轴对称，则线段BC的长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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9、已知非零向量 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1}, z_{1}), \vec{b} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ ，则“ $\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}} = \frac{z_{1}}{z_{2}}$ ”是“ $\vec{a} // \vec{b}$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、非必要非充分条件

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10、中国古代数学著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》，《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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11、已知 $a, b \in R$ ，则“ $2^{- a} < 2^{- b}$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知全集 $U = R$ ，集合 $P = {x | a + 1 \leq x \leq 2 a + 1}$ ， $Q = {x | - 2 \leq x \leq 5} ．$

(1)、若 $a = 3$ ，求 $(∁_{U} P) \cap Q ；$

(2)、若“ $x \in P$ ”是“ $x \in Q$ ”充分不必要条件，求实数 a的取值范围．

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13、若平面 $α$ 与平面 $β$ 平行， $a \subset α, b \subset β$ ，则直线 $a, b$ 的位置关系为．

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14、已知整数 $n ⩾ 4$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 是递增的整数数列，即 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in Z$ 且 $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ ．数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{n} = a_{n}$ ．若对于 $i \in \{2, 3, \dots, n - 1\}$ ，恒有 $b_{i} - a_{i - 1}$ 等于同一个常数 $k$ ，则称数列 $\{b_{n}\}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的“左 $k$ 型间隔数列”；若对于 $i \in \{2, 3, \dots, n - 1\}$ ，恒有 $a_{i + 1} - b_{i}$ 等于同一个常数 $k$ ，则称数列 $\{b_{n}\}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的“右 $k$ 型间隔数列”；若对于 $i \in \{2, 3, \dots, n - 1\}$ ，恒有 $a_{i + 1} - b_{i} = k$ 或者 $b_{i} - a_{i - 1} = k$ ，则称数列 $\{b_{n}\}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的“左右 $k$ 型间隔数列”．

(1)、写出数列 $\{a_{n}\} : 1, 3, 5, 7, 9$ 的所有递增的“左右1型间隔数列”；

(2)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = 8 n (n - 1)$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的“左 $k$ 型间隔数列”，数列 $\{c_{n}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的“右 $k$ 型间隔数列”，若 $n = 10$ ，且有 $b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n} = c_{1} + c_{2} + \dots + c_{n}$ ，求 $k$ 的值；

(3)、数列 $\{a_{n}\}$ 是递增的整数数列，且 $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = 7$ ．若存在 $\{a_{n}\}$ 的一个递增的“右4型间隔数列 $\{b_{n}\}$ ”，使得对于任意的 $i, j \in \{2, 3, \dots, n - 1\}$ ，都有 $a_{i} + b_{j} \neq b_{i} + a_{j}$ ，求 $a_{n}$ 的关于 $n$ 的最小值（即关于 $n$ 的最小值函数 $f (n)$ ）．

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15、数学老师在黑板上写上一个实数 $x_{0}$ ，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数 $x_{0}$ 乘以 $- 2$ 再加上3得到 $x_{1}$ ，并将 $x_{0}$ 擦掉后将 $x_{1}$ 写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数 $x_{0}$ 除以 $- 2$ 再减去3得到 $x_{1}$ ，也将 $x_{0}$ 擦掉后将 $x_{1}$ 写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为 $x_{2}$ ．现已知 $x_{2} > x_{0}$ 的概率为0.5，则实数 $x_{0}$ 的取值范围是．

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16、若对任意 $x, y \in R$ ，有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，则函数 $g (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1} + f (x) + 3$ 在 $[- 2024, 2024]$ 上的最大值 $M$ 与最小值 $m$ 的和 $M + m =$ ．

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17、《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等．
例如， $a b = 1$ ，求证： $\frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + b} = 1$ ．证明：原式 $= \frac{a b}{a b + a} + \frac{1}{1 + b} = \frac{b}{1 + b} + \frac{1}{1 + b} = 1$ ．
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．
阅读材料二：基本不等式 $\sqrt{a b} \leq \frac{a + b}{2}$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ），当且仅当 $a = b$ 时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在 $x > 0$ 的条件下，当 $x$ 为何值时， $x + \frac{1}{x}$ 有最小值，最小值是多少？
解： $∵ x > 0$ ， $\frac{1}{x} > 0$ ， $∴ \frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$ ，即 $x + \frac{1}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$ ， $∴ x + \frac{1}{x} \geq 2$ ，当且仅当 $x = \frac{1}{x}$ ，即 $x = 1$ 时， $x + \frac{1}{x}$ 有最小值，最小值为2．请根据以上阅读材料解答下列问题：

(1)、已知 $a \cdot b = 1$ ，求 $\frac{1}{1 + a^{2}} + \frac{1}{1 + b^{2}}$ 的值．

(2)、若 $a \cdot b \cdot c = 1$ ，解关于 $x$ 的方程 $\frac{5 a x}{a b + a + 1} + \frac{5 b x}{b c + b + 1} + \frac{5 c x}{c a + c + 1} = 1$ ．

(3)、若正数 $a$ ， $b$ 满足 $a \cdot b = 1$ ，求 $M = \frac{1}{1 + a} + \frac{1}{1 + 2 b}$ 的最小值．

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18、已知 $a = {0.3}^{1.5}, b = \log_{1.5} 0.3, c = {1.5}^{0.3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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19、已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - \ln x + \ln a$ ．
（1）当 $a = e$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式 $f (x) \geq 1$ 恒成立，求a的取值范围．

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 1$ .
(1)证明 $\{a_{n} + \frac{1}{2}\}$ 是等比数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
(2)证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ... + \frac{1}{a_{n}} < \frac{3}{2}$ .

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