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1、下列命题中正确的是（）

A、函数 $f (x) = |a x + \frac{b}{x}| (a, b \in R)$ ， $f (x)$ 是偶函数 B、若函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ ，则 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ C、如果函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 在 $[a, b]$ 上单调递增，那么它在 $[- b, - a]$ 上单调递减 D、若函数 $f (x)$ 的定义域是 $[- 2, 2]$ ，则函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[- 3, 1]$

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2、下列说法正确的是（）

A、命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} \leq 2$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} > 2$ ” B、存在 $x_{0} \in Q$ ，使得 $2 x_{0}^{2} + x_{0} + 1 = 0$ 是真命题 C、若命题“ $\exists x_{0} \in R$ ， $4 x_{0}^{2} + 2 x_{0} + n = 0$ ”为假命题，则实数 $n$ 的取值范围是 $(\frac{1}{4}, + \infty)$ D、已知集合 $A = {0, 1, 3, 4}$ ，则满足条件 $A \cup B = B$ 的集合 $B$ 的个数为15

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3、下列等式中，正确的是（）

A、 $\sqrt[3]{{(- 3)}^{3}} = - 3$ B、 $\sqrt[6]{{(- 5)}^{12}} = - 25$ C、 $\sqrt{{(π - 4)}^{2}} = 4 - π$ D、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{7}$

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4、已知 $f (x)$ 是定义在 $[2 b, 1 - b]$ 上的偶函数，且在 $[2 b, 0]$ 上为增函数，则 $f (x - 1) \geq f (2 x)$ 的解集为（）

A、 $[- 1, \frac{2}{3}]$ B、 $[- 1, \frac{1}{3}]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[\frac{1}{3}, 1] \cup \{- 1\}$

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5、函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x - 3) = 4 x - 7$ ，若 $f (a) = - 3$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、0 B、1 C、 $- 4$ D、 $- 1$

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6、若二次函数 $f (x) = x^{2} - 2 (a - 1) x + 1$ 在区间 $(1, 3)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $[2, 4]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $[4, + \infty)$

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7、已知函数 $f (x) = (3 m^{2} - 2 m) x^{m}$ 是幂函数，若 $f (x)$ 为增函数，则 $m$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{3}$ 或1 D、1

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8、下列各组函数中，是同一函数的是（）

A、 $f (x) = x^{0}$ 与 $g (x) = 1$ B、 $f (x) = | x |$ 与 $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ C、 $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x + 2}$ 与 $g (x) = x - 2$ D、 $f (x) = x + 1$ ， $x \in (0, 1)$ 与 $g (x) = | x | + 1$ ， $x \in (0, 1)$

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9、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{3} + 1 \leq 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \notin R$ ， $x^{3} + 1 > 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{3} + 1 \leq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{3} + 1 > 0$ D、 $\exists x \in R$ ， $x^{3} + 1 > 0$

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10、已知集合 $A = \{x \in N| x < 3\}$ ， $B = \{1, 2, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 2}$ B、 ${1, 2, 3}$ C、 $\emptyset$ D、 ${0, 1, 2, 4}$

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11、定义：如果在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ ，那么称 $d (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ 为A，B两点间的曼哈顿距离； $D (A, B) = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ 为A，B两点间的欧几里得距离．

(1)、已知 $d (O, P) = 1$ ，求 $D (O, P)$ 的最小值；

(2)、已知 $M (3, 2), D (O, N) = 2$ ，求 $d (M, N)$ 的最大值；

(3)、已知 $a > 0$ ，点 $A (x_{1}, y_{1})$ 在函数 $h (x) = - \frac{1}{x} (x < 0)$ 图象上，点 $B (x_{2}, y_{2})$ 在函数 $g (x) = a \ln x - x$ 图象上，且 $y_{1} \neq y_{2}$ ，点A，B有 $d (A, B)$ 的最小值为4，求实数a的取值．

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B / / C D, A B ⊥ B C$ ，且 $A B = B D = 2 C D = 4$ ，侧面 $P C D$ 是正三角形，侧面 $P C D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， E为 $P C$ 中点，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于F．

(1)、求证： $P B ⊥$ 平面 $D E F$ ；

(2)、求平面 $P B D$ 与平面 $P B C$ 的夹角的余弦值；

(3)、在平面 $D E F$ 内是否存在点Q．使得 $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B} = 0$ ，若存在，求动点Q的轨迹长度；若不存在，请说明理由．

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13、已知函数 $f (x) = a x - \tan x$ ， $x \in (0, \frac{π}{2})$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a \leq 2$ ，证明： $f (x) < \sin 2 x$ ．

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14、已知圆 $C : x^{2} + {(y - 5)}^{2} = 9$ ，圆 $C_{1}$ 经过点 $M (- 1, - \sqrt{3})$ ，且与圆C相切于点 $N (0, 2)$ ．

(1)、求圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、已知直线 $l$ 过点 $Q (- 1, - 2)$ ，且被圆 $C_{1}$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程．

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15、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (\sqrt{3} \sin C, 1 + \cos A)$ ， $\vec{n} = (c, a)$ ，且 $\vec{m} / / \vec{n}$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、如图， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于 $D$ ， $A D = 1$ ，求 $\frac{1}{B D} + \frac{1}{C D}$ 的取值范围．

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16、整数的商 $\frac{m}{n}$ （其中 $n \neq 0$ ）称为有理数，任一有限小数或无限循环小数可以化为整数的商 $\frac{m}{n}$ （其中 $n \neq 0$ ）的形式，则 $1. \dot{2} =$ （写成 $\frac{m}{n}$ 的形式，m与n为互质的具体正整数）；若 $1.2$ ， $1.22$ ， $1.222, \dots$ 构成数列 $\{a_{n}\}$ ，令 $b_{n} = \frac{1}{(10^{n + 1} - 1) \cdot (a_{n} - 1)}$ ， $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{n} =$ ．

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17、已知棱长为1的正四面体 $P - A B C$ ， $E, F$ 分别为 $P A, B C$ 的中点，若以 $E F$ 的中点 $O$ 为球心的球与该正四面体的棱有公共点，则球 $O$ 半径的最大值为．

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18、已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且经过点 $P (2, 0), Q (0, 1)$ ，则椭圆C的标准方程为．

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19、已知函数 $f_{n} (x) = \sin^{n} x + \cos^{n} x, n \in N^{*}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\cos 2 x = \frac{3}{5}$ ，则 $f_{4} (x) = \frac{17}{25}$ B、当 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 时，函数 $y = f_{4} (x)$ 与 $y = \sin 4 x + \frac{3}{4}$ 的图象恰有5个交点 C、当 $n = 2 k + 1, k \in N^{*}$ 时，函数 $y = f_{n} (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 成轴对称图形 D、当 $n = 2 k, k \in N^{*}$ 时，记函数 $f_{2 k} (x)$ 的最小值为 $a_{k}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} < 2$

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20、已知数列 $\{a_{n}\} (n \in N^{*})$ 为无穷等差数列，公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $S_{5} = S_{17}$ ， $d < 0$ ，则 $a_{11} > 0$ ， $a_{12} < 0$ B、若 $m, n, p, q \in N^{*}$ 且互不相等，则 $\frac{a_{m} - a_{n}}{m - n} = \frac{a_{p} - a_{q}}{p - q}$ C、若 $m, n, p, q \in N^{*}$ ， $m < p < n < q$ ， $m + n = p + q$ ，则 $a_{m} a_{n} < a_{p} a_{q}$ D、若 $a_{2025} = 0$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{4049 - n} (n \in N^{*}, n < 4049)$

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