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相关试卷

1、（1）已知：复数 $z = {(1 + i)}^{2} + \frac{2 i}{1 - i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，求 $z$ 及 $|z|$ ；
（2）若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根是 $1 + \sqrt{2} i$ ，其中 $m, n \in R$ ， $i$ 是虚数单位，求 $m - n$ 的值．

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2、如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为海里.

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3、向量 $\vec{a} = (x, 1), \vec{b} = (2, y), \vec{c} = (- 2, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}, \vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ .

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $a \sin B = b \sin \frac{B + C}{2}$ ， $a = 3$ ， O为 $△ A B C$ 外接圆圆心，则下列结论正确的有（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、 $△ A B C$ 外接圆面积为 $12 π$ C、 $\vec{B O} \cdot \vec{B C} = \frac{9}{2}$ D、 $S_{△ A B C}$ 的最大值为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$

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5、下列命题错误的有（）

A、若非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C D}$ 平行，则 $A, B, C, D$ 四点共线 B、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} > \vec{b}$ C、若 $x, y \in R$ ，则 $x + y i = 1 + i$ 的充要条件是 $x = y = 1$ D、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则存在唯一实数 $λ$ 使得 $\vec{b} = λ \vec{a}$

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6、已知a， $b \in R$ ， $(a - 1) i - b = 3 - 2 i$ ， $z = {(1 + i)}^{a - b}$ ，则下列说法正确的是（）

A、z的虚部是 $2 i$ B、 $|z| = 2$ C、 $\bar{z} = - 2 i$ D、z对应的点在第二象限

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7、在 $△ A B C$ 中， $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{6} \vec{A B} \cdot \vec{A C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\sin B = \cos A \sin C$ ， $P$ 为线段 $A B$ 上的动点不包括端点，且 $\vec{C P} = x \frac{\vec{C A}}{|\vec{C A}|} + y \frac{\vec{C B}}{|\vec{C B}|}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{\sqrt{3}}{y}$ 的最小值为（）

A、 $2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $1 + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$

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8、设 $f (n) = {(\frac{1 + i}{1 - i})}^{n} + {(\frac{1 - i}{1 + i})}^{n} (n \in Z)$ ，则 $f (n)$ 可取的值有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个

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9、已知点 $N 、 O 、 P$ 满足 $\vec{N A} + \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}$ ， $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} |$ ， $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ，则点 $N 、 O 、 P$ 依次是 $△ A B C$ 的（）

A、重心､外心､垂心 B、重心､外心､内心 C、外心､重心､垂心 D、外心､重心､内心

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10、设向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1, \vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{1}{2},$ $〈 \vec{a} - \vec{c}, \vec{b} - \vec{c} 〉 = 60 °$ ，则当 $|\vec{c}|$ 的最大值时，共起点的向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 的终点所构成的三角形为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、钝角三角形

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a^{2} + b^{2} = 2023 c^{2}$ ，则 $\frac{\tan C}{\tan A} + \frac{\tan C}{\tan B} =$ （）

A、 $\frac{1}{1011}$ B、 $\frac{1}{1012}$ C、 $\frac{1}{2023}$ D、 $\frac{2}{2023}$

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12、已知向量 $\vec{a} = (1, sin θ), \vec{b} = (cos θ, \sqrt{2}) (0 \leq θ \leq π)$ ，则下列命题中不正确的是（）

A、存在 $θ$ ，使得 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ B、当 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3}$ 时， $sin θ = \frac{\sqrt{6}}{3}$ C、当 $tan θ = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直 D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 可能平行

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13、已知点 $P (- 1, 2)$ 到抛物线： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的准线的距离为5，则该抛物线的焦点坐标为（）

A、 $(0, 3)$ B、 $(0, - 3)$ C、 $(4, 0)$ D、 $(- 4, 0)$

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14、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{5} = - 5$ ，则 $a_{3} + a_{7} =$ （）

A、 $- 5$ B、5 C、 $- 10$ D、10

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15、已知函数 $f (x) = \tan (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 的周期为 $π$ ，则 $f (2024 π) =$ .

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16、为了得到函数 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需要把函数 $y = cos x$ 上所有的点（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，横坐标变为原来的2倍 C、横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、横坐标变为原来的2倍，向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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17、已知圆柱底面圆的周长为 $2 π$ ，母线长为4，则该圆柱的体积为．

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18、已知函数 $f (x) = 2 sin ω x (ω > 0)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ 上单调递增，且在区间 $[0, π]$ 上恰好取得一次最大值，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}]$ B、 $[\frac{1}{2}, \frac{5}{2})$ C、 $[\frac{3}{4}, \frac{5}{2})$ D、 $[\frac{5}{2}, 3)$

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19、如图所示， $△ A B C$ 中，点 $D$ 是线段 $B C$ 的中点， $E$ 是线段 $A D$ 上的动点，若 $\vec{B E} = x \vec{B A} + \frac{1}{2} y \vec{B C}$ ，则 $x + y$ 的值为（）

A、1 B、3 C、5 D、8

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20、对于给定集合 $A \subseteq \{(a, b) ∣ a \geq 0, b \geq 0\}$ ，若存在非负实数 $K_{1}, K_{2}$ ，对任意的 $(a, b) \in A$ 满足： $K_{1} (1 + a^{2}) (1 + b^{2}) \leq (a + b) (1 + a b) \leq K_{2} (1 + a^{2}) (1 + b^{2})$ 成立，则称集合 $A$ 具有性质 $(K_{1}, K_{2})$ .

(1)、证明：集合 $\{(a, b) ∣ a \geq 0, b = 1\}$ 具有性质 $(\frac{1}{2}, 1)$ ；

(2)、若集合 $\{(a, b) ∣ a \geq 0, b \geq 0, a + b = 1\}$ 具有性质 $(K_{1}, K_{2})$ ，求 $K_{2} - K_{1}$ 的最小值；

(3)、若集合 $\{(a, b) ∣ a \geq 0, b \geq 0, a^{3} + b^{3} = 2\}$ 具有性质 $(K_{1}, K_{2})$ ，求 $\frac{K_{1}}{K_{2}}$ 的最大值.

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