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相关试卷

1、平面向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 满足 $|\vec{e_{1}}| = |\vec{e_{2}}| = 1, ⟨\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}⟩ = \frac{π}{2}, \vec{a} = \vec{e_{1}} + t \vec{e_{2}}, \vec{b} = t \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$

(1)、若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量恰为 $\vec{a}$ 的相反向量，求实数t的值；

(2)、若 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 为钝角，求实数t的取值范围．

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2、若关于 $x$ 的方程 $ln x + |1 + \frac{m}{x}| = 1$ 有且仅有两个实根，则实数 $m$ 的取值范围为

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3、已知 $sin (α + β) = \frac{2}{3}$ ， $tan α = 3 tan β$ 则 $c o s (2 α - 2 β) =$

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4、某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为

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5、已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + m x - 3$ ，则（）

A、当 $m \leq 3$ 时，函数 $f (x)$ 有两个极值 B、过点 $(0, 1)$ 且与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线有且仅有一条 C、当 $m = 1$ 时，若 $b$ 是 $a$ 与 $c$ 的等差中项，直线 $a x - b y - c = 0$ 与曲线 $y = f (x)$ 有三个交点 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2}), R (x_{3}, y_{3})$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - 6$ D、当 $m = 0$ 时，若 $- 1 < x < - \frac{1}{2}$ ，则 $- 3 < f (x) < f (\frac{3}{2} x - \frac{1}{4}) < 1$

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6、定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (y) = f (\frac{x + y}{2}) f (\frac{x - y}{2}), f (1) = 1$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (0) = 2$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、6是 $f (x)$ 的一个周期 D、 $\sum_{k = 0}^{2024} f^{2} (\frac{k}{2}) = 4052$

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7、下列结论正确的是（）

A、随机变量X服从二项分布 $B (3, \frac{1}{2}), Y = 2 X + 1$ ，则 $D (Y) = 3$ B、数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ 的平均数为2，则 $3 x_{1} + 1, 3 x_{2} + 1, 3 x_{3} + 1, \dots, 3 x_{n} + 1$ 的平均数为6 C、数据2，4，6，8，10，12，14的第60百分位数是10 D、随机变量X服从正态分布 $N (5, σ^{2})$ ，且 $P (2 < X < 5) = a$ ，则 $P (X > 8) = 1 - a$

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8、设 $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点，O为坐标原点，P为 $C$ 的一条渐近线上一点，且 $|\vec{P F_{1}} + \vec{P O}| = |\vec{P F_{1}} - \vec{P O}|$ ，若 $|\vec{P F_{1}}| = 2 |\vec{P O}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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9、函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2^{x}, - 1 < x < 1 \\ 3^{x} - m, x \geq 1 \end{cases}$ 单调递增，且 $f (2 m + 1) > f (m - 1)$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, 1]$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 1)$

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10、设 ${(1 + a x)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5}$ 满足 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{5} = - 2$ ，则 $a_{2} + a_{4} =$ （）

A、120 B、 $- 120$ C、40 D、 $- 40$

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11、底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = n^{2} + k n$ ，且 $a_{3} = 6$ ，则数列 $\{\frac{1}{S_{n}}\}$ 的前 $10$ 项和为（）

A、 $\frac{9}{10}$ B、 $\frac{10}{9}$ C、 $\frac{10}{11}$ D、 $\frac{11}{10}$

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13、生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范围内，病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小组通过实验得到了下列三组数据，计算得到的回归方程为： $\hat{y} = - \frac{5}{2} x + 44$ ，但由于保存不妥，丢失了一个数据（表中用字母m代替），则（）
温度 $x$ （ $° C$ ）
$6$
$8$
$10$
病毒数量 $y$ （万个）
$30$
$22$
$m$

A、 $m = 19$ B、 $m = 20$ C、 $m = 21$ D、m的值暂时无法确定

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14、已知复数z满足 $(1 + i) z = |- i|$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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15、设集合 $A = \{x| y = \sqrt{x}\}$ ，集合 $B = \{x \in Z| - 2 < x^{3} < 2\}$ ，则集合 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 1]$ B、 $\{0\}$ C、 $[0, 1)$ D、 $\{0, 1\}$

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16、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + a_{n} = 2$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 之间插入1个数 $x_{11}$ ，使 $a_{1}, x_{11}, a_{2}$ 成等差数列；在 $a_{2}$ 和 $a_{3}$ 之间插入2个数 $x_{21}, x_{22}$ ，使 $a_{2}, x_{21}, x_{21}, a_{3}$ 成等差数列；依次类推，在 $a_{n}$ 和 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数 $x_{n 1}, x_{n 2}, \dots, x_{n n}$ ，使 $a_{n}, x_{n 1}, x_{n 2}, \dots, x_{n n}, a_{n + 1}$ 成等差数列.
（i）若 $T_{n} = x_{11} + x_{21} + x_{22} + \dots + x_{n 1} + x_{n 2} + \dots + x_{n n}$ ，求 $T_{n}$ ；
（ii）对于（i）中的 $T_{n}$ ，是否存在正整数 $m, n, p (n < p)$ ，使得 $T_{m} = a_{n} + a_{p}$ 成立？若存在，求出所有的正整数对 $(m, n, p)$ ；若不存在，说明理由.

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17、已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - a x^{2} - 1, a \in R$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、设 $g (x) = ln x - e^{x} - x^{2} + x$ ，若 $f (x) \geq g (x)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18、已知抛物线 $x^{2} = 8 y$ 的焦点为 $F$ ，其准线与 $y$ 轴相交于点 $M$ .动点 $P$ 满足直线 $P F, P M$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，记点 $P$ 的轨迹为 $Γ$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、过点 $A (0, 1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴相交于点 $B$ ，与 $Γ$ 相交于 $C, D$ 两点，若 $\vec{B C} = \vec{D A}$ .求 $k$ 的值.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = P D = \sqrt{2}$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D, E$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $P B E$ 与平面 $P A B$ 夹角的余弦值.

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20、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $b cos C + c cos B = 2 a cos A$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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温度 $x$ （ $° C$ ）	$6$	$8$	$10$
病毒数量 $y$ （万个）	$30$	$22$	$m$