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相关试卷

1、已知函数 $y = f (x)$ 的表达式为 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3^{x}, x \geq 0 \\ \frac{1}{3^{x}}, x < 0 \end{array}$ ，则满足 $f (m) \geq f (m + 2)$ 的实数m的最大值为．

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2、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， ${log}_{2} a_{1} + {log}_{2} a_{4} = 3, 2^{a_{2}} \cdot 2^{a_{3}} = 64$ ，则 $a_{10} =$ ．

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3、已知 ${(x + 2)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ ＝．

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4、已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为 $15 π$ ，则该圆锥的高为．

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5、若复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 2 + 3 i$ （其中 $i$ 是虚数单位），则复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ ．

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a = 4$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $C = \frac{5}{6} π$ ，则 $c =$ .

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7、函数 $y = lg (3 x + 1) + \sqrt{1 - x}$ 的定义域是．

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8、已知集合 $A = [4, + \infty)$ ， $B = \{2, 4, 6, 8\}$ ，则 $A \cap B =$ ．

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9、已知复数 $z = 3 - \frac{1}{2 i^{3}}$ ， $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} i$

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10、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知向量 $\vec{u} = (a, b, c)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ .若直线 $l$ 以 $\vec{u}$ 为方向向量且经过点 $P_{0}$ ，则直线 $l$ 的标准式方程可表示为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} (a b c \neq 0)$ ；若平面 $α$ 以 $\vec{u}$ 为法向量且经过点 $P_{0}$ ，则平面 $α$ 的点法式方程表示为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ .

(1)、已知直线 $l$ 的标准式方程为 $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- \sqrt{3}} = \frac{z + 1}{1}$ ，平面 $α_{1}$ 的点法式方程可表示为 $\sqrt{3} x + y - z + 5 = 0$ ，求直线 $l$ 与平面 $α_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、已知平面 $α_{2}$ 的点法式方程可表示为 $2 x + 3 y + z - 1 = 0$ ，平面外一点 $P (1, 2, 1)$ ，求点 $P$ 到平面 $α_{2}$ 的距离；

(3)、（i）若集合 $M = {(x, y, z) | | x | + | y | \leq 2, | z | \leq 1}$ ，记集合 $M$ 中所有点构成的几何体为 $S$ ，求几何体 $S$ 的体积：
（ii）若集合 $N = {(x, y, z) | | x | + | y | \leq 2, | y | + | z | \leq 2, | z | + | x | \leq 2}$ .记集合 $N$ 中所有点构成的几何体为 $T$ ，求几何体 $T$ 相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小

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11、如图，在圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 上任取一点 $P$ ，过点 $P$ 作 $y$ 轴的垂线段 $P D$ ， $D$ 为垂足，点 $M$ 在 $D P$ 的延长线上，且 $|D M| = 2 |D P|$ ，当点 $P$ 在圆 $O$ 上运动时，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ （当点 $P$ 经过圆与 $y$ 轴的交点时，规定点 $M$ 与点 $P$ 重合）.

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、过点 $T (t, 0)$ 作圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $A, B$ 两点，将 $|A B|$ 表示成 $t$ 的函数，并求 $|A B|$ 的最大值.

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12、已知线段AB的端点B的坐标是 $(6 ， 5)$ ，端点A在圆 $C_{1} : {(x - 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 上运动．

(1)、求线段AB的中点P的轨迹 $C_{2}$ 的方程；

(2)、设圆 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 的两交点为M，N，求线段MN的长；

(3)、若点C在曲线 $C_{2}$ 上运动，点Q在x轴上运动，求 $|A Q| + |C Q|$ 的最小值．

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13、已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (2, 1)$ ，在AB边上的中线CM所在的直线方程为 $2 x + y - 1 = 0 ， ∠ A B C$ 的角平分线BH所在直线方程为 $x - y = 0$ .

(1)、求经过点 $A (2, 1)$ ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；

(2)、求直线BC的方程；

(3)、在线段AB上是否存在点D，满足 $C D ⊥ A B$ ，若存在，求D点坐标，若不存在，说明理由.

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14、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D = 2$ ， $A D = 1$ ， $P D ⊥ D A$ ， $P D ⊥ D C$ ，底面 $A B C D$ 为正方形， $M$ ， $N$ 分别为 $A D$ ， $P D$ 的中点.

(1)、求点 $B$ 到平面 $M N C$ 的距离；

(2)、求直线 $M B$ 与平面 $B N C$ 所成角的余弦值.

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15、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点，点 $A$ 是 $C$ 右支上一点，若 $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆的圆心为 $M$ ，半径为 $a$ ，且 $\exists λ \in R$ ，使得 $\vec{A M} + 2 \vec{O M} = λ \vec{O F_{2}}$ ，则 $C$ 的离心率为．

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16、如图，圆弧形拱桥的跨度 $|A B| = 12 m$ ，拱高 $|C D| = 4 m$ ，则拱桥的直径为 m.

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17、法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的蒙日圆为 $C : x^{2} + y^{2} = \frac{4}{3} a^{2}$ ，过圆 $C$ 上的动点 $M$ 作椭圆 $E$ 的两条切线，交圆 $C$ 于 $P, Q$ 两点，直线 $P Q$ 交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点，则下列结论正确的是（）

A、椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、若点 $D$ 在椭圆 $E$ 上，将直线 $D A, D B$ 的斜率分别记为 $k_{1}, k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{3}$ C、点 $M$ 到椭圆 $E$ 的左焦点的距离的最小值为 $\frac{(2 \sqrt{3} - \sqrt{6}) a}{3}$ D、 $△ M P Q$ 面积的最大值为 $\frac{4}{3} a^{2}$

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18、下列说法命题正确的是（）

A、在空间直角坐标系中，已知点 $A (2, 3, - 5), B (0, - 2, - 2), C (- 2, - 5, 1)$ ，则 $A, B, C$ 三点共线 B、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (3, 0, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 9, 0, 3)$ ，则 $l$ $∥$ $α$ C、已知 $\vec{a} = (0, 1, 4), \vec{b} = (\sqrt{3}, 0, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \vec{b}$ D、已知三棱锥 $O - A B C$ ，点 $P$ 为平面 $A B C$ 上的一点，且 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + m \vec{O B} + n \vec{O C} (n, m \in R)$ ，则 $m + n = \frac{1}{2}$

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19、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ ， $A$ ， $B$ 都在椭圆 $E$ 上，若 $\vec{P F_{1}} = λ \vec{F_{1} A}$ ， $\vec{P F_{2}} = μ \vec{F_{2} B}$ ，且 $λ + μ \geq 4$ ，则椭圆 $E$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{3}, 1)$ B、 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $(0, \frac{1}{3}]$

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20、已知 $⊙ M : x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ ，直线 $l : 2 x + y + 2 = 0$ ， $P$ 为 $l$ 上的动点.过点 $P$ 作 $⊙ M$ 的切线 $P A, P B$ ，切点为 $A, B$ ，当四边形 $P A M B$ 面积最小时，直线 $A B$ 的方程为（）.

A、 $2 x - y - 1 = 0$ B、 $2 x + y - 1 = 0$ C、 $2 x + y + 1 = 0$ D、 $2 x - y + 1 = 0$

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