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相关试卷

1、在椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆 $Γ$ ： $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆 $C$ 过 $P (1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $Q (- \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{1}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过椭圆 $C$ 的蒙日圆上一点 $M$ ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点 $N$ ，若 $k_{O M}$ ， $k_{O N}$ 存在，证明： $k_{O M} \cdot k_{O N}$ 为定值.

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2、若 ${(1 - 2 x)}^{5} (x + 2) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{3} =$ ．

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3、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 3), \vec{b} = (x, 2)$ ，且 $(\vec{a} - 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a},$ 则下列选项正确的是（）

A、 $\vec{b} = (1, 2)$ B、 $|3 \vec{a} - \vec{b}| = 25$ C、向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角是45° D、向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量坐标是 $(- 1, 3)$

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4、已知数列{a_n}的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{n} = \{\begin{matrix} 2 n - 13, 1 \leq n \leq 6 \\ {(- 3)}^{n - 7} - 1, n > 6 \end{matrix}$ ，若 $S_{k} = - 32$ ，则k可能为（）

A、4 B、8 C、9 D、12

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5、在某次数学节上，甲､乙､丙､丁四位同学分别写下了一个命题：甲： $ln 3 < \sqrt{3} ln 2$ ；乙： $lnπ < \sqrt{\frac{π}{e}}$ ；丙： $2^{\sqrt{12}} < 12$ ；丁： $3 eln 2 > 4 \sqrt{2}$ ．所写为真命题的是（）

A、甲和乙 B、甲和丙 C、丙和丁 D、甲和丁

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6、已知F₁ ， F₂分别是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，点P在双曲线上， $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，圆O： $x^{2} + y^{2} = \frac{9}{4} (a^{2} + b^{2})$ ，直线PF₁与圆O相交于A，B两点，直线PF₂与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为 $9 b^{2}$ ，则C的离心率为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$

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7、某次足球赛共8支球队参加，分三个阶段进行．
（1）小组赛：经抽签分成甲､乙两组，每组4队进行单循环比赛，以积分和净胜球数取前两名；
（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主､客场交叉淘汰赛（每两队主､客场各赛1场），决出胜者；
（3）决赛：两个胜队参加，比赛1场，决出胜负．
则全部赛程共需比赛的场数为（）

A、15 B、16 C、17 D、18

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8、已知 $i^{5} = a + b i$ （ $a, b \in R$ ），则a+b的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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9、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |\log_{2} (x - 1) < 0\}$ ， $B = \{x |\frac{2}{x} \geq 1\}$ ，则（）

A、 $∁_{U} A = [2, + \infty)$ B、 $B \subseteq A$ C、 $A \cap (∁_{U} B) = \emptyset$ D、 $A \cup B = (- \infty, 2]$

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10、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 7 = 0$ 和圆 $C_{2} : {(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 12$ 交于两点，点 $P$ 在圆 $C_{1}$ 上运动，点 $Q$ 在圆 $C_{2}$ 上运动，则下列说法正确的是（）

A、圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 关于直线 $8 x + 6 y - 5 = 0$ 对称 B、圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 的公共弦长为 $2 \sqrt{23}$ C、 $|P Q|$ 的取值范围为 $[0, 5 + 2 \sqrt{3}]$ D、若 $M$ 为直线 $x - y + 8 = 0$ 上的动点，则 $|P M| + |M Q|$ 的最小值为 $\sqrt{109} - 4 \sqrt{3}$

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11、已知二次函数 $y = a x^{2} + 2 a x - (a + 2), x \in R$ ．

(1)、若不等式 $y < 0$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $a < 0$ ，解关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + 2 a x - (a + 2) > x - a$ ．

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12、（1）已知 $1 < a < 6$ ， $3 < b < 4$ ，求 $2 a - b$ ， $\frac{a}{b}$ 的取值范围
（2）已知 $a, b, x, y \in (0, + \infty)$ ，且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ， $x > y$ ，试比较 $\frac{x}{x + a}$ 与 $\frac{y}{y + b}$ 的大小.

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13、若a， $b > 0$ ，且 $a^{2} + b^{2} = a b + 3$ ，则 $a b$ 的最大值为．

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14、集合 $M = {(x, y) ∣ 2 x - y = 1}, N = {(x, y) ∣ 3 x + y = 0}$ ，则 $M \cap N =$

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15、已知集合 $M = \{x ∣ x^{2} - 2 m x - 3 m^{2} \leq 0\}, N = \{x ∣ x^{2} + m x - 2 m^{2} \leq 0\}$ ，定义 $b - a$ 叫做集合 $\{x ∣ a \leq x \leq b\}$ 的长度，若集合 $M \cap N$ 的长度为4，则 $M \cup N$ 的长度为（）

A、3 B、4 C、5 D、10

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16、已知 $A = \{a - 1, {(a + 1)}^{2}, a^{2} + a - 1\}$ ，若 $1 \in A$ ，则实数 $a$ 的取值构成的集合 $B$ 的真子集个数是（）

A、1 B、3 C、7 D、15

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17、已知不等式 $x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $\{x |3 < x < 4\}$ ，则 $c x^{2} + b x + 1 > 0$ 的解集为（）

A、 $\{x |- \frac{1}{3} < x < - \frac{1}{4}\}$ B、 $\{x |\frac{1}{4} < x < \frac{1}{3}\}$ C、 $\{x |x < \frac{1}{4}$ 或 $x > \frac{1}{3}\}$ D、 $\{x |x < - \frac{1}{3}$ 或 $x > - \frac{1}{4}\}$

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B // C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 C D = 2 B C$ ， $O$ 为 $B D$ 的中点， $B D = 4$ ， $P B = P C = P D = \sqrt{5}$ .

(1)、证明： $O P ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值.

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19、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，且 $A B = A P = B C = 1$ ， $A D = 2$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若E为PC的中点，求 $P D$ 与平面 $A E D$ 所成角的正弦值.

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20、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $P D = D C = 2$ ， M为BC的中点．

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $P D B$ ；

(2)、求点D到平面 $P A M$ 的距离．

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