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相关试卷

1、设集合 $A = \{x \in N |- 1 \leq x \leq 2\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0, 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{1\}$

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2、小方同学在阅读高等数学时发现两则定义，
定义1，设函数 $y = f (x)$ 是定义在区间I上的连续函数，若 $\forall x_{1}, x_{2} \in I$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $y = f (x)$ 为区间I上的下凸函数．如图2．
定义2．设函数 $y = f (x)$ 是定义在区间I上的连续函数，若 $\forall x_{1}, x_{2} \in I$ ，都有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $y = f (x)$ 为区间I上的上凸函数．如图3．
例如，函数 $y = x^{3}$ 在 $(- \infty, 0]$ 为上凸函数，在 $[0, + \infty)$ 上为下凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小方同学了解到了琴生不等式（Jensn不等式）：若是 $f (x)$ 区间 $[a, b]$ 上的下凸函数，则对任意的 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \in [a, b]$ ，有不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ 恒成立（当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ ，时等号成立）．结合阅读材料回答下面的问题：

(1)、已知 $g (x) = 2^{x}$ 为下凸函数，若 $g (m) + g (n) = 4$ ，求 $m + n$ 的最大值；

(2)、求证：二次函数 $f (x) = - x^{2} + b x + c$ 是上凸函数．

(3)、设 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} > 0$ ， $n \geq 2$ ，且 $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = 1$ ，求 $W = \frac{x_{1}}{1 - x_{1}} + \frac{x_{2}}{1 - x_{2}} + \dots + \frac{x_{n}}{1 - x_{n}}$ 的最小值．

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3、设函数 $f (x) = \frac{a x}{b + x^{2}} (a \neq 0, x > 0)$ ，满足：① $f (1) = \frac{1}{2}$ ；②对任意 $x > 0, f (x) = f (\frac{1}{x})$ 恒成立．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式，并写出单调区间．

(2)、设矩形ABCD的一边AB在x轴上，顶点C，D在函数 $f (x)$ 的图象上．设矩形ABCD的面积为S，求证： $0 < S < 1$ ．

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4、某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 $P mg/L$ 与时间th间的关系为 $P = P_{0} e^{- k t}$ （其中 $P_{0}$ ， k是大于0的常数）．已知在前5个小时消除了10%的污染物．

(1)、求k的值；

(2)、求污染物减少50%需要花的时间（精确到 $0 .1h$ ）?参考数据： $\ln 2 \approx 0.69, \ln 3 \approx 1.10, \ln 5 \approx 1.61$

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5、设函数 $f (x) = a x^{2} + (1 - a) x + a - 2 (a \in R)$

(1)、若 $a = - 2$ ，求 $f (x) < 0$ 的解集．

(2)、若不等式 $f (x) \geq - 2$ 对一切实数x恒成立，求a的取值范围；

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6、写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x) =$ ．（答案不唯一）
① $\forall x_{1}, x_{2} \in R, \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ② $f (x y) = f (x) f (y)$ ③ $f (2) > 2$

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7、已知函数 $f (x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $\forall x \in \{x |x \neq - 1\}, f (\frac{1}{x}) = - f (x)$ B、函数 $f (x)$ 在定义域内是减函数 C、若 $x \in [0, 2]$ 时，则 $f (x)$ 的值域 $[- \frac{1}{3}, 1]$ D、 $f (x)$ 的图象关于 $(- 1, 1)$ 对称

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ 于D， $A D ＝ 9, D B ＝ 3, C D ＝ 6$ ，矩形的顶点E与A点重合， $E F ＝ 8, E H ＝ 4$ ，将矩形 $E F G H$ 沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形 $E F G H$ 与 $△ A B C$ 重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(0, + \infty)$ 上的单调函数，且 $f (f (x) + \frac{2}{x}) = - 1$ ，则 $f (1) =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $- 1$ D、 $0$

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10、已知函数 $f (x) = a + \frac{2}{3^{x} + 1}$ 是奇函数，则 $f (2) =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{4}$

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11、已知函数 $f (x + 1) = x^{2} - x + 3$ ，则 $f (x) =$ （）

A、 $x^{2} - 3 x + 5$ B、 $x^{2} - x + 5$ C、 $x^{2} - 3 x + 3$ D、 $x^{2} + x + 3$

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12、幂函数 $f (x) = (m ^{2} - 4 m + 4) x ^{m - 2}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则（）

A、 $m = 1$ B、 $m = 3$ C、 $m = 1$ 或3 D、 $m > 2$

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13、笛卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”.高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题.对于非空数集A，B，定义 $A \otimes B = \{(x, y) |x \in A$ 且 $y \in B\}$ ，将 $A \otimes B$ 称为“A与B的笛卡尔积”

(1)、若 $A = \{0, 1\}, B = \{2\}$ ，求 $A \otimes B$ 和 $B \otimes A$ ；

(2)、若集合H是有限集，将集合H的元素个数记为 $|H|$ .记 $|A_{1}| = x (x \in N^{*})$ ， $|A_{2}| = y (y \in N^{*})$ ，满足 $\frac{|A_{1} \otimes A_{1}| + |A_{2} \otimes A_{2}|}{|A_{1} \otimes A_{2}|} \geq a$ ，对x，y恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、证明：“ $A_{1} \otimes A_{2} = A_{2} \otimes A_{1}$ ”的充要条件是“ $A_{1} = A_{2}$ ”.

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14、已知正实数x，y满足 $2 x^{2} + 5 x y + 2 y^{2} = 2 x + y$ .

(1)、求 $x + 2 y$ 的值；

(2)、求 $\frac{3}{3 x + 1} + \frac{2}{y}$ 的最小值；

(3)、若 $z > 1$ ，求 $\frac{y z}{x} + \frac{z}{x y} + \frac{\sqrt{5}}{z - 1} - 4 z$ 的最小值.

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15、已知函数 $f (x)$ 是定义在区间 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = 1$ ，若对于任意实数的m， $n \in [- 1, 1] (m + n \neq 0)$ ，有 $\frac{f (m) + f (n)}{m + n} > 0$ .

(1)、证明函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上单调递增；

(2)、解不等式 $f (x + \frac{1}{2}) < f (1 - x)$ ；

(3)、若 $f (x) \leq - 2 a t + 2$ 对于任意的 $x \in [- 1, 1], a \in [- 1, 1]$ 恒成立，求实数t的取值范围.

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16、已知集合 $A = \{x | 2 m + 1 \leq x \leq 3 m + 4\}$ ，函数 $f (x) = 2^{x} - 1 (x \leq 3)$ 的值域为集合 $B$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $\bar{A} \cap B, A \cap \bar{B}$ ；

(2)、当 $A \cup B = B$ 时，求实数 $m$ 的取值范围.

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17、已知函数 $f (x) = \frac{4^{x}}{4^{x} + 2}$ .

(1)、求 $f (x) + f (1 - x)$ 的值；

(2)、求 $f (\frac{1}{2024}) + f (\frac{2}{2024}) + \cdot \cdot \cdot + f (\frac{2023}{2024})$ .

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x - \frac{4}{x} - a, x > a \\ a - (x + \frac{4}{x}), x \leq a \end{matrix}$ ，关于x的方程 $|f (x) - a| = 4$ 恰有四个不同的实数解，则正实数a的取值范围是.

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19、已知函数 $y = f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = - x^{3} + x^{2}$ ，则当 $x > 0$ 时， $f (x) =$ .

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20、若幂函数 $f (x)$ 经过点 $(8, 2)$ ，则 $f (27) =$ .

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