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相关试卷

1、池州九华山是著名的旅游胜地．天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨．在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692
8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935
9635 2379 1805 9890 0735 4640 6298 8054 9720 5695
1574 8008 3216 6470 5080 6772 1642 7920 3189 0343
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{21}{40}$ D、 $\frac{17}{40}$

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2、下列统计量中可用于度量样本 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 离散程度的有（）

A、 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的标准差 B、 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的中位数 C、 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的众数 D、 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数

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3、已知两条不同的直线m､ $l$ 和两个不同的平面 $α ， β$ ，下列命题是真命题的为（）

A、若m $∥$ $α$ ， $l$ ⊥m，则 $l$ ⊥α B、若 $α$ $∥$ β， $l$ ⊥ $α$ ， $m \subset β$ ，则 $l$ ⊥m C、若m $∥$ $α$ ， $α$ ⊥ $β$ ，则m⊥ $β$ D、若m $∥$ $l$ ， $l \subset α$ ，则m $∥$ $α$

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4、设z=-3+2i，则在复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5、水污染现状与工业废水排放密切相关．某工厂深入贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过 $A$ 系统处理，处理后的污水（ $A$ 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为 $p (0 < p < 1)$ ．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进入 $B$ 系统处理后直接排放．某厂现有4个标准水量的 $A$ 级水池，分别取样、检测．多个污水样本检测时，既可以逐个化验，又可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有样本不达标，混合样本的化验结果必不达标．若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水可直接排放．现有以下四种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
方案四：四个样本混在一起化验．
若化验次数的期望值越小，则方案越“优”．
（1）若 $p = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，现有4个 $A$ 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优”？
（2）若“方案三”比“方案四”更“优”，求 $p$ 的取值范围．

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6、记 $S_{n}$ 是各项均不为零的数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = \frac{1}{2}, \frac{3}{S_{n}} = \frac{1}{S_{n}^{2}} + \frac{3}{a_{n}} (n \geq 2, n \in N)$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = S_{n} S_{n + 1}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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7、在 $2023$ 年春节期间，为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销、直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系．

(1)、现对某时间段 $100$ 名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据：
选择甲公司直播间购物
选择乙公司直播间购物
合计
用户年龄段 $19 - 24$ 岁
$40$
$50$
用户年龄段 $25 - 34$ 岁
$30$
合计
请将表格补充完整，并判断是否有 $99.9 %$ 的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？

(2)、若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能地从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为 $0.7$ ；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为 $0.8$ ，求小李第二天去乙直播间购物的概率．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$χ^{2}$ 临界值表：
$P (χ^{2} \geq k)$
$0.10$
$0.05$
$0.01$
$0.005$
$0.001$
$k$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$
$10.828$

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8、甲乙两位同学进行乒乓球单打比赛，约定：①每赢一球得1分；②采用两球换发制，即每比赛二球交换发球权．假设甲发球时甲得分的概率是 $\frac{1}{2}$ ，乙发球时甲得分的概率是 $\frac{2}{5}$ ，各球的结果相互独立．根据抽签结果决定，甲先发球．

(1)、求比赛二球后甲得分的期望；

(2)、求比赛六球后甲得分比乙得分多 $2$ 分的概率．

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9、已知 ${(\sqrt[3]{x^{2}} + 3 x^{2})}^{n}$ 的展开式中，各项系数之和比它的二项式系数之和大992，

(1)、求展开式中二项式系数最大的项；

(2)、求展开式中有理项.

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10、为培养学生对传统文化的兴趣，某市从甲，乙两所学校各抽取100名学生参加传统文化知识竞赛，竞赛成绩分为优秀和非优秀两个等级，成绩统计如下表：
优秀人数
非优秀人数
合计
甲校
60
40
100
乙校
70
30
100
合计
130
70
200
（1）甲，乙两所学校竞赛成绩优秀的频率分别是多少?
（2）能否有95%的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异?
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
P $(K^{2} > k)$
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

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11、已知集合 $M = {x | 1 \leq x \leq 10, n \in N^{*}}$ ，对它的非空子集 $A$ ，将 $A$ 中每个元素 $k$ 都乘以 ${(- 1)}^{k}$ 再求和，如 $A = {1, 4, 7}$ ，可以求得和为 ${(- 1)}^{1} \times 1 + {(- 1)}^{4} \times 4 + {(- 1)}^{7} \times 7 = - 4$ ，则对 $M$ 的所有非空子集，则这些和的总和为．

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12、已知 $a$ 为正数， $x^{2} {(a x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中各项系数的和为1，则常数项为.

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13、随机变量X服从正态分布 $X ～ N (4, σ^{2})$ ，若 $P (0.5 \leq X \leq 4) = 0.38$ ，则 $P (X \geq 7.5) =$ ．

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14、下列说法正确的是（）

A、若随机变量 $ξ \sim N (0, 1), φ (x) = P (ξ \leq x)$ ，其中 $x > 0$ ，则 $P (|ξ| > x) = 2 - φ (x)$ B、若事件 $A$ 与 $B$ 互斥，且 $0 < P (B) < 1$ ，则 $P (A |\bar{B}) = \frac{P (A)}{1 - P (B)}$ C、若事件 $B$ 发生，则事件 $A$ 一定发生，且 $0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1$ 则 $P (A |B) = P (A)$ D、甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为 $\frac{13}{30}$

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15、若 ${(1 - 2 x)}^{2 n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2 n} x^{2 n}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $\sum_{i = 0}^{2 n} |a_{i}| = 1$ C、 $\sum_{i = 0}^{n} {(C_{n}^{i})}^{2} = C_{2 n}^{n}$ D、 $\sum_{i = 1}^{n} a_{2 i} = \frac{9^{n} + 1}{2}$

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16、4个不同的小球随机投入4个不同的盒子，设随机变量 $X$ 为空盒的个数，下列说法正确的是（）

A、随机变量 $X$ 的取值为 $1, 2, 3$ B、 $P (X = 3) = \frac{1}{64}$ C、 $P (X = 2) = \frac{9}{64}$ D、 $E (X) = \frac{81}{64}$

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17、设A，B为两个随机事件，若 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ，下列命题中，正确的是（）

A、若A，B为互斥事件， $P (A + B) = \frac{7}{12}$ B、 $P (A + B) \geq \frac{7}{12}$ C、若 $P (A B) = \frac{1}{12}$ ，则A，B为相互独立事件 D、若A，B为相互独立事件，则 $P (\bar{A} \cdot B) = \frac{1}{2}$

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18、设随机变量 $X ~ N (0, 1), f (x) = P (X ⩾ x)$ ，其中 $x > 0$ ，则下列等式成立的是（）

A、 $f (2 x) = 2 f (x)$ B、 $f (- x) = 1 - f (x)$ C、 $P (X ⩽ x) = 2 f (x) - 1$ D、 $P (| X | > x) = 2 - f (x)$

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19、 ${(x + 2 y + z)}^{11}$ 的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（）

A、72项 B、75项 C、78项 D、81项

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20、同时抛掷两枚质地均匀的硬币（忽略客观因素对其的影响），如果已经知道有一枚硬币正面朝上，那么这两枚硬币都是正面朝上的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、不确定

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	选择甲公司直播间购物	选择乙公司直播间购物	合计
用户年龄段 $19 - 24$ 岁	$40$		$50$
用户年龄段 $25 - 34$ 岁		$30$
合计

$P (χ^{2} \geq k)$	$0.10$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$k$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

	优秀人数	非优秀人数	合计
甲校	60	40	100
乙校	70	30	100
合计	130	70	200

P $(K^{2} > k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828