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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 满足： $|\vec{m} |=| \vec{n}| = 2$ ，且 $\vec{m}$ 在 $\vec{n}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{n}$ ，则向量 $\vec{m}$ 与向量 $\vec{n}$ 的夹角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $150^{\circ}$

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2、若 $x > 1$ ， $y > 1$ ，则“ $x - y > 1$ ”是“ $\ln x - \ln y > 1$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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3、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{n + 1} = \frac{1}{1 - a_{n}}, n \in N^{*}$ ，则 $a_{2020} =$ （）

A、 $2$ B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $1$

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4、某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量 $W$ 与时间t的关系为 $W = f (t)$ ，用 $-$ $\frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ 的大小评价在 $[a, b]$ 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正确的命题是（）

A、在 $[t_{1}, t_{2}]$ 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； B、在 $t_{2}$ 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱； C、在 $t_{3}$ 时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标； D、甲企业在 $[0, t_{1}]$ ， $[t_{1}, t_{2}]$ ， $[t_{2}, t_{3}]$ 这三段时间中，在 $[t_{1}, t_{2}]$ 的污水治理能力最强

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, n), \vec{b} = (- 1, n)$ ，若 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $|\vec{a}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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6、在复平面内，复数 $z$ 满足 $z (3 + 4 i) = (5 + 12 i)$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $\frac{13}{5}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{13}{4}$

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7、已知实数 $a \neq 0$ ，设函数 $f (x) = a \ln x + \sqrt{x + 1}, x > 0.$
（1）当 $a = - \frac{3}{4}$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）对任意 $x \in [\frac{1}{e^{2}}, + \infty)$ 均有 $f (x) \leq \frac{\sqrt{x}}{2 a},$ 求 $a$ 的取值范围.
注： $e = 2.71828...$ 为自然对数的底数.

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 a_{n} + {(- 1)}^{n}, n \geq 1$ ．

(1)、写出数列 $\{a_{n}\}$ 的前三项 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ ；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、证明：对任意的整数 $m > 4$ ，有 $\frac{1}{a_{4}} + \frac{1}{a_{5}} + \dots + \frac{1}{a_{m}} < \frac{7}{8}$ ．

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9、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 $l$ ： $y = - x + 3$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点T．
（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程及点 $T$ 的坐标；
（Ⅱ）设 $O$ 是坐标原点，直线 $l^{'}$ 平行于 $O T$ ，与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A$ 、 $B$ ，且与直线 $l$ 交于点 $P$ ，证明：存在常数 $λ$ ，使得 $| P T |^{2} = λ | P A | \cdot | P B |$ ，并求 $λ$ 的值．

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10、水稻苗经过一个培育周期的生长株高达到8cm左右时最适宜播种，过高或过低都会影响后期的生产管理.根据长期的试验观察，在正常的培育环境下水稻苗经过一个培育周期生长的株高服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，并且符合 $3 σ$ 原则.为了监控水稻苗的生长状况，检验员会从经过了一个培育周期的水稻苗中随机抽取20株，并测量其株高(单位：cm).

(1)、把株高在 $(μ - 3 σ, μ + 3 σ)$ 之外的水稻苗称作异常苗，记 $ξ$ 表示异常苗的数量，求 $ξ$ 可能取值的个数、 $P (ξ = 1)$ 及 $E ξ$ .

(2)、监控部门要求，如果在抽取的水稻苗中出现了异常苗，就认定这个培育周期的培育环境出现了异常情况，需要对培育环境进行检查和修正.
（ⅰ）监控部门的要求合理吗？请说明理由.
（ⅱ）下面是检验员从经过了一个培育周期的水稻苗中随机抽取的20株水稻苗的株高：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
株高/cm
7.98
8.01
8.00
8.03
7.99
7.83
7.99
8.28
7.05
7.69
编号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
株商/cm
8.00
8.41
7.75
8.38
7.72
7.69
8.04
8.29
7.82
8.05
其中， $\hat{μ} = \frac{1}{20} \sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 7.95, \hat{σ} = \sqrt{\frac{1}{20} {\sum_{i = 1}^{20} (x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ $= \sqrt{\frac{1}{20} (\sum_{i = 1}^{20} x_{i}^{2} - 20 {\bar{x}}^{2})} \approx 0.294, x_{i}$ 为抽取的第 $i$ 株水稻苗的株高， $i = 1, 2, ..., 20$ .请判断是否需对这个培育周期的培育环境进行检查和修正？若要修正，剔除异常苗的株高，求余下的数据估计 $μ$ 和 $σ$ (精确到0.01).
附：若随机变量X服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974$ ， ${0.9974}^{20} \approx 0.9493, {0.9974}^{19} \approx 0.9517$ $, \sqrt{0.004} \approx 0.06$

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11、如图，平面 $P C B M ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ P C B = 90 ° ， P M ∥ B C$ ，直线AM与直线PC所成的角为 $60 °$ ，又 $A C = 1, B C = 2 P M = 2, ∠ A C B = 90 °$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ B M$ ；

(2)、求二面角 $M - A B - C$ 的大小；

(3)、求多面体 $P M A B C$ 的体积．

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12、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = a x^{3} - x$ ，若存在 $t \in R$ ，使得 $| f (t + 2) - f (t) | \leq \frac{2}{3}$ ，则实数 $a$ 的最大值是.

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13、已知 ${(x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{1}{3}})}^{n}$ 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中 $x^{5}$ 的系数是．（以数字作答）

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14、在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为 $α (0 < α < 1)$ ，收到0的概率为 $1 - α$ ；发送1时，收到0的概率为 $β (0 < β < 1)$ ，收到1的概率为 $1 - β$ ．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）下列说法错误的是（）

A、采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为 $(1 - α) {(1 - β)}^{2}$ B、采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 $β {(1 - β)}^{2}$ C、采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 $β {(1 - β)}^{2} + {(1 - β)}^{3}$ D、当 $0 < α < 0.5$ 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率

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15、已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y= $3 \sqrt{4 - x^{2}}$ 图像上的点，则|OP|=（）

A、 $\frac{\sqrt{22}}{2}$ B、 $\frac{4 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{10}$

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16、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网络联系，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（　　）

A、26 B、24 C、20 D、19

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17、等差数列前 $n$ 项的和为 $30$ ，前 $2 n$ 项的和为 $100$ ，则它的前 $3 n$ 项的和为（）

A、130 B、170 C、210 D、260

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18、直线 $l : x - m y - 2 = 0 (m \in R)$ 与 $x$ 轴的交点 $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，若点 $O$ 为坐标原点， $l$ 与 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点. 则（）

A、 $p = 8$ B、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 12$ C、 $△ O A B$ 重心横坐标的最小值为 $\frac{4}{3}$ D、以线段 $A B$ 为直径的圆被 $y$ 轴截得的弦长为定值

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19、若数列 $A_{n} : a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{n} (n \geq 2)$ 满足 $| a_{k + 1} - a_{k} | = 1 (k = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n - 1)$ ，则称 $A_{n}$ 为E数列，记 $S (A_{n}) = a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$ ．

(1)、写出满足 $a_{1} = a_{5} = 0$ ，且 $S (A_{5}) > 0$ 的一个E数列 $A_{5}$ ；

(2)、若 $a_{1} = 2$ ， $n = 2024$ ，证明：E数列 $A_{n}$ 是递增数列的充要条件是 $a_{n} = 2025$ ；

(3)、对任意给定的整数 $n (n \geq 2)$ ，是否存在首项为0的E数列 $A_{n}$ ，使得 $S (A_{n}) = 0$ ？如果存在，写出一个满足条件的E数列 $A_{n}$ ；如果不存在，说明理由．

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20、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E, F$ 分别在 $B B_{1}, D D_{1}$ 上，且 $A E ⊥ A_{1} B$ ， $A F ⊥ A_{1} D$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $A E F$ ；

(2)、当 $A B = A D = 1, A A_{1} = 2$ 时，求平面 $A E F$ 与平面 $A_{1} B D$ 的夹角的余弦值.

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编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
株高/cm	7.98	8.01	8.00	8.03	7.99	7.83	7.99	8.28	7.05	7.69
编号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
株商/cm	8.00	8.41	7.75	8.38	7.72	7.69	8.04	8.29	7.82	8.05