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相关试卷

1、已知 $f (x) = x^{2} + 3 x f^{'} (1)$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、1 B、2 C、-1 D、-2

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2、蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首.1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边BC上靠近B点的三等分点， $∠ A D C = 60 °$ ， $A D = 2$ ．

(1)、若 $∠ A C D = 45 °$ ，求三角形手巾的面积；

(2)、当 $\frac{A C}{A B}$ 取最小值时，请帮设计师计算BD的长．

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sin^{2} B + \sin^{2} C - \sin^{2} A = \sin B \sin C$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 6$ ， $b = 2 c$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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4、为了估算圣索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物 $A B$ ，高约为 $36 m$ ，在它们之间的地面上的点 $M$ （ $B, M, D$ 三点共线）处测得建筑物顶 $A$ ､教堂顶 $C$ 的仰角分别是 $45 °$ 和 $60 °$ ，在建筑物顶 $A$ 处测得教堂顶 $C$ 的仰角为 $15 °$ ，则计算圣索菲亚教堂的高度 $C D$ 为 $m$ ．

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，若 $a cos B + b sin A = c$ ， $a = 2 \sqrt{10}, a^{2} + b^{2} - c^{2} = a b sin C$ ，则（）

A、 $tan C = 2$ B、 $A = \frac{π}{3}$ C、 $b = 6 \sqrt{2}$ D、 $△ A B C$ 的面积为 $12 \sqrt{2}$

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6、在 $△ A B C$ 中， $D$ 在 $A B$ 边上， $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点，则（）

A、 $\vec{B C} = \vec{A B} - \vec{A C}$ B、 $\vec{C D} = \frac{2}{3} \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{C B}$ C、 $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ D、 $\vec{A C} = 2 \vec{C B} - 3 \vec{C D}$

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7、已知 $\cos α = \frac{3}{5}$ ， $α \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ，则（）

A、 $\sin (π + α) = \frac{4}{5}$ B、 $\cos (\frac{π}{2} + α) = - \frac{4}{5}$ C、 $\tan (π - α) = \frac{4}{3}$ D、 $\sin (\frac{3 π}{2} + α) = \frac{3}{5}$

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8、已知函数 $y = f (x)$ 的图象关于y轴对称，且对于 $y = f (x) (x \in R)$ ，当 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- \infty, 0]$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 恒成立，若 $f (2 a x) < f (2 x^{2} + 1)$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \sqrt{2})$ B、 $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ C、 $[0, \sqrt{2})$ D、 $(\sqrt{2}, + \infty)$

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9、设 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 1$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $A = 30 °$ ，则边 $c =$ （）

A、1 B、2 C、1或2 D、 $\sqrt{3}$

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10、已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (x, - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} + \vec{b} =$ （）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(2, 1)$ C、 $(3, - 1)$ D、 $(- 3, 1)$

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11、如图，圆 $M : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $P (- 1, t)$ 为直线 $l : x = - 1$ 上一动点，过点 $P$ 引圆 $M$ 的两条切线，切点分别为 $A 、 B$ ．
（1）若 $t = 1$ ，求切线所在直线方程；
（2）求 $|A B|$ 的最小值；
（3）若两条切线 $P A, P B$ 与 $y$ 轴分别交于 $S 、 T$ 两点，求 $|S T|$ 的最小值．

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12、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ，四边形 $A C F E$ 为矩形，且 $C F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = C D = B C = C F = \frac{1}{2} A B = 1$ .

(1)、求证： $E F ⊥ B C$ ；

(2)、点 $M$ 在线段 $B F$ （不含端点）上运动，设直线 $B E$ 与平面 $M A C$ 所成角为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的取值范围.

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13、如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东 $45 °$ 方向距O岛 $40 \sqrt{2}$ 千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点．

(1)、求圆C的标准方程；

(2)、若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西 $30 °$ 方向距O岛40千米处，正沿着北偏东 $60 °$ 行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？

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14、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点E满足 $D E = 3 E A$ ，点F是 $C C_{1}$ 的中点，点G满足 $D G = \frac{3}{5} G D_{1}$ .

(1)、求证：B、E、G、F四点共面；

(2)、求平面 $E F G$ 与平面 $A_{1} E F$ 夹角的余弦值.

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15、已知 $A (- 1, 2)$ ，以点 $A$ 为圆心的圆被 $y$ 轴截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求圆 $A$ 的方程；

(2)、若过点 $B (1, - 2)$ 的直线 $l$ 与圆 $A$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

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16、数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数 $λ$ （ $λ > 0$ ， $λ \neq 1$ ）的点M的轨迹是圆，已知两定点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，动点M满足 $| M A | = \sqrt{2} | M B |$ ，则点M的轨迹方程为；若圆C： ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2}$ 上存在满足条件的点M，则半径r的取值范围为

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17、直线l的方向向量为 $\vec{m} = (1, 1, 0)$ ，且l过点 $A (1, 1, 1)$ ，则点 $P (2, 2, - 1)$ 到直线l的距离为

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18、方程 $C : x^{2} + y^{2} + 2 x - 3 y + m = 0$ 表示圆，则实数 $m$ 的取值范围为．

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19、已知圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 与直线 $x + m y - m - 2 = 0$ ，下列选项正确的是（）

A、圆的圆心坐标为 $(1, 2)$ B、直线过定点 $(2, 1)$ C、直线与圆相交且所截最短弦长为 $2 \sqrt{2}$ D、直线与圆可以相切

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20、已知 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (2, - 1, 0)$ ， $\vec{c} = (1, x, y)$ ，则（）

A、 $2 \vec{a} - \vec{b} = (0, 1, 2)$ B、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 3$ C、若 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $x = 2$ D、若 $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $x = - \frac{1}{2}$ ， $y = 0$

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