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相关试卷

1、若复数 $z = - 2 + i$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z$ 的虚部是 $- 2$ B、 $z$ 的共轭复数是 $- 2 - i$ C、 $z$ 的模是 $\sqrt{5}$ D、 $z^{2}$ 在复平面内对应的点在第二象限

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2、若直线 $3 x - 4 y - 2 = 0$ 与直线 $6 x + m y + 5 = 0$ 平行，则这两条直线间的距离为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{7}{5}$

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3、已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{e}$ 是平面向量，其中 $\vec{e}$ 是单位向量，若非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{e}$ 的夹角是 $\frac{π}{4}$ ，向量 $\vec{b}$ 满足 ${\vec{b}}^{2} - 8 \vec{e} \cdot \vec{b} + 15 = 0$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最小值是．

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4、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A B C = \frac{π}{2}, A O = C O$ ， $P A = P B = P C$ .

(1)、证明： $O P ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $P A = \sqrt{2} A B = \sqrt{2} B C, E$ 是棱 $B C$ 上一点且 $2 B E = E C$ ，求二面角 $C - P A - E$ 的大小.

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5、过点 $(3, 2)$ 且垂直于直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 的直线方程为（）

A、 $2 x - y - 4 = 0$ B、 $2 x - y + 4 = 0$ C、 $2 x + y - 8 = 0$ D、 $x - 2 y + 4 = 0$

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6、如图，在等腰梯形ABCD中， $A B / / C D$ ， $A B = 4$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， E为BC边上一点，且满足 $B E = 2 C E$ ，若 $\overset{⃑}{A D} \cdot \overset{⃑}{A B} = 4$ ，则 $\overset{⃑}{A E} \cdot \overset{⃑}{B D} =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 8$ C、4 D、8

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7、命题：“ $\forall x \in R$ ， $\exists n \in N^{*}$ ，使得 $n \geq x^{2}$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $\exists n \in N^{*}$ ，使得 $n < x^{2}$ B、 $\exists x \in R$ ， $\forall n \in N^{*}$ ，使得 $n < x^{2}$ C、 $\forall x \in R$ ， $\forall n \in N^{*}$ ，使得 $n < x^{2}$ D、以上结论都不正确

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8、（1）已知a，b，x，y均为正数，求证： $\frac{{(x + y)}^{2}}{a x^{2} + b y^{2}} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 并指出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论，求函数 $f (x) = \frac{4 x^{2} + 4 x + 1}{5 x^{2} + 4 x + 2} (x > 0)$ 的最大值，并指出取最大值时x的值．

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9、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 $\{\begin{array}{l} x = 3 \sqrt{1 - t^{2}} \\ y = 2 t \end{array}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．

(1)、求曲线C极坐标方程；

(2)、若A，B为曲线C上的动点，且 $O A ⊥ O B$ ，求 $\frac{1}{| O A |^{2}} + \frac{1}{| O B |^{2}}$ 的值．

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10、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $4 \vec{B A} \cdot \vec{B C} = 3 b c \sin A = 24 c$ .

(1)、求 $\tan B$ 及a；

(2)、若 $△ A B C$ 周长为48，求 $△ A B C$ 的面积.

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11、绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长.绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：
喜欢旅游
不喜欢旅游
总计
男性
20
30
50
女性
30
20
50
总计
50
50
100

(1)、能否有 $95 %$ 的把握认为喜欢旅游与性别有关？

(2)、在以上所调查的喜欢旅游的市民中，按性别进行分层抽样随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求这两人是不同性别的概率.
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

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12、已知 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ 分别是双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点，过点 $F_{2}$ 作E的渐近线的垂线，垂足为P．点M在E的左支上，当 $P M / / x$ 轴时， $| P M | = c$ ，则E的渐近线方程为．

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13、如图是 $y = f (x)$ 的大致图象，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $f (x) = |x^{2} - \sin x|$ B、 $f (x) = | x - \sin x |$ C、 $f (x) = |2^{x} - 1|$ D、 $f (x) = |x^{2} - x - \frac{1}{4}|$

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14、若变量x，y满足不等式组 $\{\begin{matrix} x \geq 0, \\ 2 x + y - 2 \leq 0, \end{matrix}$ 则 $x + y$ 的最大值是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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15、若复数 $z$ 满足 $z i = 1 + i$ ，则复数 $z$ 是（）

A、 $- 1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 + i$ D、 $1 - i$

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16、已知函数 $f (x) = \frac{ln (e x)}{a x}$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若方程 $f (x) = 1$ 有两个不同的根 $x_{1}, x_{2}$ ．
(i)求 $a$ 的取值范围；
(ii)证明： $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} > 2$ ．

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17、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \cos (2 x - \frac{π}{3}) - \sin x \cos x + \frac{\sqrt{3}}{2} (\cos^{4} x - \sin^{4} x)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间；

(2)、若方程 $f (x) = m$ 在 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 上有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围.

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18、已知1是函数 $f (x) = a x^{3} + b x + c$ （a，b， $c \in R$ ）的极值点， $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线与直线 $y = \frac{1}{3} x$ 垂直.

(1)、求a，b的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上有最大值2，在 $(- 2, m)$ 上有最小值也有最大值，求实数m的取值范围.

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19、已知函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{6})$ .

(1)、完善下面的表格并作出函数 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的图象：
$2 x - \frac{π}{6}$
$- \frac{π}{6}$
0

$π$

$\frac{11 π}{6}$
$x$

$\frac{5 π}{6}$

$f (x)$

1

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平 $\frac{π}{3}$ 个单位后再向上平移1个单位得到 $g (x)$ 的图象，解不等式 $g (x) \geq \frac{1}{2}$ .

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20、已知函数 $f (x) = s i n (π x + φ) (|φ| < π)$ 的图象过点 $(\frac{1}{3}, 1)$ ，若 $f (x)$ 在 $[- 2, a]$ 内有5个零点，则 $a$ 的取值范围为.

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	喜欢旅游	不喜欢旅游	总计
男性	20	30	50
女性	30	20	50
总计	50	50	100

$2 x - \frac{π}{6}$	$- \frac{π}{6}$	0		$π$		$\frac{11 π}{6}$
$x$					$\frac{5 π}{6}$
$f (x)$			1

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828