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相关试卷

1、在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，一定符合上述指标的是（）

A、平均数 $\bar{x} \leq 3$ B、标准差 $s \leq 2$ C、平均数 $\bar{x} \leq 3$ 且极差小于或等于 $2$ D、众数等于 $1$ 且极差小于或等于 $4$

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2、下列函数中，既是奇函数又在 $(0, + \infty)$ 单调递增的是（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = | x | + 1$ C、 $y = - x^{2} + 1$ D、 $y = 2^{- | x |}$

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3、已知函数 $f (x) = \sin x + \cos x$ ，则函数 $f (x)$ 的最大值和周期分别是（）

A、 $\sqrt{2}$ ， $2 π$ B、 $\sqrt{2}$ ， $π$ C、2， $2 π$ D、2， $π$

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4、已知集合 $A = \{(x, y) | y = x - 1\}$ ， $B = \{(x, y) | y = \ln x\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $ϕ$ B、 $\{1\}$ C、 $\{(1, 0)\}$ D、 $(1, 0)$

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5、《几何原本》里提出：“球的体积（ $V$ ）与它的直径（ $D$ ）的立方成正比”，即 $V = k D^{3}$ ，其中常数 $k$ 称为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式 $V = k D^{3}$ 求体积（在等边圆柱中， $D$ 表示底面圆的直径；在正方体中， $D$ 表示棱长），设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为 $a$ ）、正方体（棱长为 $a$ ）、球（直径为 $a$ ）的“立圆率”分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 、 $k_{3}$ ，则（）

A、 $k_{3} < k_{1} < k_{2}$ B、 $k_{2} < k_{1} < k_{3}$ C、 $k_{1} < k_{2} < k_{3}$ D、 $k_{3} < k_{2} < k_{1}$

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6、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $\frac{1}{2} \vec{B D} - \vec{A D} =$ （）

A、 $\vec{C A}$ B、 $\vec{A C}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{C A}$

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7、复数 $\frac{5}{- 2 + i} =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $- 2 + i$ C、 $- 2 - i$ D、 $2 - i$

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8、函数 $f (x) = 2 ln x - x + \frac{1}{x}$

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $ln 2 < \frac{1}{n} + \frac{1}{n + 1} + \dots + \frac{1}{2 n - 1}$ ；

(3)、若 $x_{2} > x_{1} > 0$ ， $ln x_{1} + \frac{1}{x_{1}^{2} x_{2}} = ln x_{2} + \frac{1}{x_{2}^{2} x_{1}}$ ，比较 $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$ 与2的大小，并说明理由.

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9、平面直角坐标系 $x o y$ 中，点 $F (- 2 \sqrt{3}, 0)$ ，动点 $P$ 满足以 $P F$ 为直径的圆与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 16$ 内切，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $E$ .

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、 $M$ 是曲线 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上的任意一点，过 $M$ 斜率存在的直线交曲线 $E$ 于两不同点A、B，射线 $M O$ 交曲线 $E$ 于 $Q$ 点.
（ⅰ）证明： $\frac{|M O|}{|O Q|}$ 为定值；
（ⅱ）求 $△ A B Q$ 面积的取值范围.

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10、如图四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形且 $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，侧面 $P C D$ 是边长为2的正三角形，且侧面 $P C D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， M为 $P B$ 的中点.

(1)、求 $P A$ 与底面 $A B C D$ 所成的角的大小；

(2)、求证：平面 $P A B ⊥$ 平面 $C D M$ ；

(3)、求平面 $P B C$ 和平面 $M D C$ 的夹角的余弦值.

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边长 $a, b, c$ 组成公差为1的等差数列.

(1)、若 $4 sin B = 5 sin A$ ，求 $△ A B C$ 的周长和面积；

(2)、 $△ A B C$ 为锐角三角形，求整数 $a$ 的最小值.

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12、2025年4月24日，搭载“神舟二十号”的火箭发射升空，有很多民众通过手机、电视等方式观看有关新闻.某机构将关注这件事的时间在2小时以上的人称为“航天爱好者”，否则称为“非航天爱好者”，该机构通过调查，从参与调查的人群中随机抽取200人进行分析，得到下表（单位：人）：

航天爱好者
非航天爱好者
合计
女
40
60
100
男
70
30
100
合计
110
90
200

(1)、能否有99%的把握认为“航天爱好者”或“非航天爱好者”与性别有关？

(2)、现从这100名男生与100名女生中，按“航天爱好者”和“非航天爱好者”这两种类型分别进行分层抽样抽取男生10人，女生5人.将这15人中航天爱好者记为A组，非航天爱好者记为B组.现从这两组中各任意选取一人进行交换，求经过一次交换后，A组中女生人数 $X$ 的分布列和数学期望.
附： $X^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ，
$P (X^{2} \geq K)$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$k$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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13、函数 $f (x) = |3 x - 1| - 3 l n x$ 的最小值为．

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14、要安排4名学生到3个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有种.

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15、直线 $x + 2 y - 5 = 0$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 截得的弦长为.

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16、斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过抛物线 $C : x^{2} = a y (a > 0)$ 的焦点 $F$ ，且与抛物线 $C$ 交于M、N两点， $Q$ 为抛物线 $C$ 的准线 $y = - 1$ 上任意一点.则（）

A、 $a = 2$ B、以 $M N$ 为直径的圆与直线 $y = - 1$ 相切 C、 $△ M N Q$ 为等边三角形，则 $k^{2} = 2$ D、 $Q N$ 为抛物线 $C$ 的切线，则 $\vec{M N} \cdot \vec{Q F} = 0$

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17、如图1，在 $△ A B C$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $∠ B = \frac{π}{3}$ ， $A B = 8$ ， $D$ 、 $E$ 分别在AB，AC上，且 $4 \vec{D E} = 3 \vec{B C}$ .将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折得到图2，其中 $A C ⊥ C E$ .记三棱锥 $A - B C D$ 外接球球心为 $O_{1}$ ，球 $O_{1}$ 表面积为 $S_{1}$ ，三棱锥 $A - E C D$ 外接球球心为 $O_{2}$ ，球 $O_{2}$ 表面积为 $S_{2}$ ，则在图2中，下列说法正确的有（）

A、 $B D ⊥ A D$ B、直线 $A B$ 与 $D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $O_{1} O_{2} / /$ 平面 $B C D E$ D、 $S_{1} + S_{2} = 78 π$

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18、函数 $f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - b)$ ，若 $f (x)$ 在 $(b, b + 3)$ 有最大值，则实数 $b$ 的取值范围是（）

A、 $(- 4, 5)$ B、 $(- 4, \frac{11}{4}]$ C、 $(- 4, \frac{11}{4})$ D、 $(- 4, 5]$

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19、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称 B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{5π}{12}, 0)$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{2π}{3}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递减 D、当 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 时， $f (x) \in [1, 2]$

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20、已知 $sin (x - y) = cos (x + y)$ ， $tan (x - y) = 3$ ，则 $tan x tan y =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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	航天爱好者	非航天爱好者	合计
女	40	60	100
男	70	30	100
合计	110	90	200

$P (X^{2} \geq K)$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828