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相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 中点， $E$ 在线段 $A D$ 上，且 $A E = 2 E D$ ，则 $\overset{⃑}{B E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \overset{⃑}{A C} + \frac{2}{3} \overset{⃑}{A B}$ B、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{A C} - \frac{2}{3} \overset{⃑}{A B}$ C、 $\frac{2}{3} \overset{⃑}{A C} - \frac{1}{3} \overset{⃑}{A B}$ D、 $\frac{2}{3} \overset{⃑}{A C} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{A B}$

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2、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{b}| = 3 ， \vec{a} \cdot \vec{b} = - 6$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{b}$

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3、已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、-1 B、-2 C、1 D、0

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4、若 $\{\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}\}$ 是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是（）

A、 $\{\vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}, 2 \vec{e_{2}} - \vec{e_{1}}\}$ B、 $\{2 \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}, 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}\}$ C、 $\{2 \vec{e_{2}} + 3 \vec{e_{1}}, 6 \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}}\}$ D、 $\{\vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}, \vec{e_{2}} - \frac{1}{2} \vec{e_{1}}\}$

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5、已知向量 $\vec{A B} = (- 2, 1), \vec{A C} = (3, 4)$ ，则 $\vec{B C} =$ （）

A、 $(1, 5)$ B、 $(- 1, - 5)$ C、 $(- 5, - 3)$ D、 $(5, 3)$

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- 2, 0), F_{2} (2, 0), P$ 是圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 32 = 0$ 上一点，线段 $P F_{2}$ 与C交于点Q，且 $| P Q | = |F_{1} Q|$ ．

(1)、求C的标准方程；

(2)、过点 $F_{2}$ 的直线与C交于A，B两点，记O为坐标原点，线段 $A B$ 的中点为N，C的左顶点为D．
（i）求 $△ O D N$ 面积的最大值；
（ii）若 $△ A B D$ 的外心为M，直线 $O M$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $O N$ 的斜率为 $k_{2}$ ，试判断 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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7、已知 $m > 0$ ，若正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\forall n \in N^{*}, \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} < 1 < \frac{m}{a_{n}}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为“上界m数列”．

(1)、若 $c_{n} = \sin \frac{n^{2} + n - 1}{λ (n^{2} + 2 n - 2)} (λ > \frac{2}{π}, n \in N^{*})$ ，判断数列 $\{c_{n}\}$ 是否为“上界1数列”，并说明理由；

(2)、若数列 $\{\frac{2 n}{n + 1}\}$ 是“上界m数列”，求m的最小值；

(3)、若 $0 < b_{1} \leq \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ，且 $b_{n + 1} = b_{n} + \frac{b_{n}^{2}}{n^{2}} (n \in N^{*})$ ．证明：数列 $\{b_{n}\}$ 是“上界1数列”．

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8、已知函数 $f (x) = - x^{2} + (a^{2} + a) \ln x + (1 - a) x$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $a \geq - \frac{1}{3}$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性．

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9、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $△ A B E$ 是正三角形，四边形 $A B C D$ 是正方形， $B C ⊥$ 平面 $A B E, F$ 为 $B C$ 的中点．

(1)、证明： $A F ⊥ D E$ ；

(2)、求直线 $A F$ 与平面 $C D E$ 所成角的正弦值．

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10、为了研究观众对某档节目的喜爱情况与性别的关联性，分别调查了该档节目男、女观众各100人，发现共有70名观众喜爱该档节目，且不喜爱该档节目的女性观众数是喜爱该档节目的男性观众数的2倍．

(1)、根据题中信息，完成下面列联表；
单位：人
性别
喜爱情况
合计
喜爱
不喜爱
男
女
合计

(2)、根据（1）中的列联表，依据 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为观众对该档节目的喜爱情况与性别有关？
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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11、将数列 ${3 n + 2}$ 与 ${4 n}$ 中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列 $\{a_{n}\}$ ，则 $a_{5} =$ ， $\{a_{n}\}$ 的前202项和为．

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12、4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有种．

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13、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{2 m - 3} = 1$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则 $m =$ ．

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14、在平面直角坐标系 $O x y$ 中，动点P在直线 $l : x + y = 0$ 上的射影为点Q，且 $\sqrt{2} | O P | | P Q | = 1$ ．记P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（）

A、C关于直线l对称 B、C上存在点 $M (x_{0}, y_{0})$ ，使得 $x_{0}^{2025} + y_{0}^{2025} = 1$ C、 $| O P |$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、若C与两条坐标轴的正半轴所围成的面积为S，则 $\frac{1}{2} < S < \frac{\sqrt{2}}{2}$

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15、已知锐角三角形 $A B C$ 的内角分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，则（）

A、 $\sin [\cos (A - B)] > \sin (\cos C)$ B、 $\tan (\sin A) < \tan (\cos B)$ C、 $\sin (\sin A) > \sin (\tan A)$ D、 $\cos (\cos A) > \cos (\sin B)$

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16、已知复数 $z_{1} = 1 + i, z_{2} = 1 - i$ ，则下列复数为纯虚数的是（）

A、 $z_{1} z_{2}$ B、 $z_{1} - z_{2}$ C、 $z_{1}^{2}$ D、 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$

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17、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $\sqrt{3}$ ，以顶点A为球心， $\sqrt{7}$ 为半径的球的球面与正方体的表面的交线总长为（）

A、 $3 π$ B、 $π$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

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18、若函数 $f (x) = 3 \sin x + 2 \cos x$ 在 $[0, α]$ 上单调递增，则当 $α$ 取得最大值时， $\cos α =$ （）

A、 $- \frac{3 \sqrt{13}}{13}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$

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19、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与直线 $l : x - y - 3 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且线段 $A B$ 中点的横坐标为 $7$ ，则 $p =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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20、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ ，则不等式 $f (2 x - 1) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ B、 $(0, \frac{1}{2}) \cup (1, + \infty)$ C、 $(0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, 1)$

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性别	喜爱情况		合计
性别	喜爱	不喜爱	合计
男
女
合计

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635