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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a ln x + x^{2} + x$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)、若函数 $F (x) = f (x) - 3 x + 1$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求证： $F (x_{2}) + (\frac{1}{2} - ln 2) x_{1} > \frac{1}{2} - ln 2$ .

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2、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x - 1) + f (x + 1) = f (3)$ ， $f (- 2 x + 2)$ 为偶函数，且 $f (\frac{3}{2}) = 1$ ，则 $f (\frac{5}{2}) =$ ， $\sum_{k = 1}^{2025} (k + 1) f (k - \frac{1}{2}) =$ .

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3、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C$ 的左、右焦点 $|F_{1} F_{2}| = 2 c$ ，若椭圆上存在点 $P$ ，满足 $\frac{1}{|P F_{1}|} + \frac{1}{|P F_{2}|} = \frac{1}{c}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围为.

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4、已知函数 $f (x), g (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 1) g (y + 1) = f (x - y) + f (y + 1) g (x + 1)$ ， $f (- 2) = f (1) \neq 0, f (2) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $g (0) = 2$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、3是函数 $f (x)$ 的周期 D、 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k) = - \frac{1}{2}$

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5、数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体 $A B C D - E F G H$ ．已知 $A B = A D = 2$ ， $A E = \sqrt{7}$ ， $\vec{D C} = 2 (\sqrt{2} + 1) \vec{D P}$ ，过直线 $E P$ 作平面 $α$ ，则十面体 $A B C D - E F G H$ 外接球被平面 $α$ 所截的截面圆面积的最小值是（）

A、 $\frac{(51 - 32 \sqrt{2}) π}{48}$ B、 $\frac{(51 - 32 \sqrt{2}) π}{12}$ C、 $\frac{(81 + 56 \sqrt{2}) π}{48}$ D、 $\frac{(81 + 56 \sqrt{2}) π}{12}$

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6、对 $n$ 个正整数用k种颜色染色，使得无法从中选出三个不同色的正整数构成等差数列，设k的最大值为 $f (n)$ ，则（）

A、 $\log_{3} n \leq f (n) \leq \log_{2} n + 1$ B、 $\log_{2} n \leq f (n) \leq \log_{2} n + 1$ C、 $\log_{3} n \leq f (n) \leq \log_{2} n$ D、 $\log_{3} n \leq f (n) \leq \log_{3} n + 1$

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7、若 $a = \tan 0.03$ ， $b = \ln 1.03$ ， $c = \frac{3}{103}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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8、若 $a = \tan 0.03$ ， $b = \ln 1.03$ ， $c = \frac{3}{103}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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9、已知函数 $f (x) = k e x - \ln x + 1$ 的图象与函数 $g (x) = x e^{k x} + k x - eln x$ 的图象有且仅有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{1}{e}, - \frac{1}{e^{2}}) \cup [0, + \infty)$ B、 $(- 1, - \frac{1}{e^{2}}) \cup [0, e)$ C、 $(- \frac{1}{e}, - \frac{1}{e^{2}}) \cup [0, e)$ D、 $(- 1, - \frac{1}{e^{2}}) \cup [0, + \infty)$

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10、已知 $a - 2 = \ln \frac{a}{2}$ ， $b - 3 = \ln \frac{b}{3}$ ， $c - 3 = \ln \frac{c}{2}$ ，其中 $a, b, c \in (0, 1)$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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11、定义域为 $R$ 的偶函数 $f (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{5 x^{2}}{16}, 0 \leq x \leq 2 \\ {(\frac{1}{2})}^{x} + 1, x > 2 \end{matrix}$ ，若关于 $x$ 的方程 ${(f (x))}^{2} + a f (x) + b = 0 (a, b \in R)$ 有且仅有6个不等的实数根，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \frac{5}{2}, - 1)$ B、 $(- \frac{5}{2}, - \frac{9}{4})$ C、 $(- \frac{5}{2}, - \frac{9}{4}) \cup (- \frac{9}{4}, - 1)$ D、 $(- \frac{9}{4}, - 1)$

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12、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a sin \frac{A + C}{2} = b sin A$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形， $b = \sqrt{3}$ ，求 $2 a - c$ 的取值范围.

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13、在△ABC中， $\vec{A E} = \frac{1}{2} \vec{E C}$ ， $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ，线段CD交BE于点G，且 $\vec{A G} = λ \vec{A E} + μ \vec{A D}$ ，求λ＋μ的值．

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14、设 $x$ ， $y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (1, y)$ ， $\vec{c} = (2, - 4)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ．

(1)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、求向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ 夹角的余弦值．

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15、已知 $tan α = 2$ ，计算：

(1)、 $\frac{2 sin α - 3 cos α}{4 sin α - 9 cos α}$ ；

(2)、 $\frac{2 sin α - cos α}{sin α + 2 cos α}$ .

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16、高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示， $B, E, F$ 为山的两侧共线的三点，且与山脚 $C D$ 处于同一水平线上，在山顶 $A$ 处测得 $B, E, F$ 三点的俯角分别为 $30 °, 60 °, 45 °$ ，计划沿直线 $B F$ 开通穿山遂道，现已测得 $B C, D E, E F$ 三条线段的长度分别为 $4, 2, 3$ ，则隧道 $C D$ 的长度为.

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17、 $sin (- 2040^{\circ})$ 的值为．

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18、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ).

A、若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ B、若 $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 C、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 D、若 $b = 2$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，这样的三角形有两解，则 $a$ 的取值范围为 $(\sqrt{3}, 2)$

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19、已知复数 $z = 5 - 4 i$ ，以下说法正确的是（）

A、 $z$ 的实部是5 B、 $|z| = \sqrt{41}$ C、 $\bar{z} = 5 + 4 i$ D、 $z$ 在复平面内对应的点在第一象限

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20、（多选）下列说法正确的是（）

A、加速度是向量 B、两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C、零向量的方向是任意的 D、向量就是有向线段

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