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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，若 $c = 2 b cos A$ ， $a sin A - b sin B = c (sin C - sin B)$ ，则角 $B =$ （）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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2、已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线，向量 $\vec{m} = x \vec{a} + \vec{b}, \vec{n} = \vec{a} + (3 x - 2) \vec{b}$ ，若 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、1 B、 $- \frac{1}{3}$ C、1或 $- \frac{1}{3}$ D、 $- 1$ 或 $\frac{1}{3}$

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3、复数 $\frac{3 - i}{1 - i}$ 的虚部是（）

A、2 B、 $- 2$ C、1 D、 $- 1$

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4、已知 $A = {x ∣ 0 \leq x \leq 3}, B = {x ∣ 1 \leq x \leq 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ 1 \leq x \leq 3}$ B、 ${x ∣ 0 \leq x \leq 4}$ C、 ${x ∣ 0 \leq x \leq 1}$ D、 ${x ∣ 3 \leq x \leq 4}$

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5、如图 $1$ ，在直角梯形 $Α Β CD$ 中， $Α D// Β C$ ， $∠ Β Α D = \frac{π}{2}$ ， $Α Β = Β C = 1$ ， $Α D = 2$ ， $Ε$ 是 $Α D$ 的中点， $Ο$ 是 $Α C$ 与 $Β Ε$ 的交点．将 $Δ Α Β Ε$ 沿 $Β Ε$ 折起到 $Δ Α_{1} Β Ε$ 的位置，如图 $2$ ．
（Ⅰ）证明： $CD ⊥$ 平面 $Α_{1} Ο C$ ；
（Ⅱ）若平面 $Α_{1} Β Ε ⊥$ 平面 $Β CD Ε$ ，求平面 $Α_{1} Β C$ 与平面 $Α_{1} CD$ 夹角的余弦值．

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6、已知平行四边形 $A B C D$ 的三个顶点的坐标为 $A (- 1, 4)$ ， $B (- 2, - 1)$ ， $C (2, 3)$ ．
（1）在 $△ A B C$ 中，求边AC中线所在直线方程；
（2）求平行四边形 $A B C D$ 的顶点D的坐标及边BC的长度；
（3）求 $△ A B C$ 的面积.

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7、 $P - A B C D$ 是正四棱锥， $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是正方体，其中 $A B = 2$ ， $P A = \sqrt{6}$ ，则 $B_{1}$ 到平面 $P A D$ 的距离为

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8、如图， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $P A = A C = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，则二面角 $A - P B - C$ 的余弦值大小为.

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9、动点 $P$ 与定点 $A (- 1, 0), B (1, 0)$ 的连线的斜率之积为 $- 1$ ，则点 $P$ 的轨迹方程是.

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10、已知圆 $M$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，过点 $A (0, 2)$ 向圆 $M$ 作切线，切点为 $P$ ，再作斜率为 $- \frac{7}{4}$ 的割线交圆 $M$ 于 $B$ 、 $C$ 两点，则 $△ P B C$ 的面积为（）．

A、 $\frac{56}{65}$ B、 $\frac{64}{65}$ C、 $\frac{211}{325}$ D、 $\frac{256}{325}$

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11、给出下列命题，其中不正确的为（）

A、若 $\vec{A B} = \vec{C D}$ ，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 是钝角 C、若 $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{0}$ ，则 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C D}$ 一定共线 D、非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ ， $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ ， $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 都是共面向量，则 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 必共面

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12、已知三条直线 $a x + 2 y + 8 = 0$ 、 $4 x + 3 y = 10$ 和 $2 x - y = 10$ 中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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13、已知平面 $α$ 、 $β$ 的法向量分别为 $\vec{a} = (- 1 ， y ， 4)$ 、 $\vec{b} = (x ， - 1 ， - 2)$ 且 $α ⊥ β$ ，则 $x + y$ 的值为（）

A、 $- 8$ B、 $- 4$ C、 $4$ D、 $8$

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14、对于空间任意一点 $O$ 和不共线的三点 $A, B, C$ ，有如下关系： $\vec{O P} = \frac{1}{6} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则（）

A、 $O, A, B, C$ 四点必共面 B、 $P, A, B, C$ 四点必共面 C、 $O, P, B, C$ 四点必共面 D、 $O, P, A, B, C$ 五点必共面

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15、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧面积为 $72 + 36 \sqrt{2}$ ，底面 $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $A B = A C$ ， $A A_{1} = 6$ ， M，N分别是 $A_{1} B$ 和 $A C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、取 $A_{1} B_{1}$ 的中点E，连接 $B E$ 与 $B_{1} M$ 交于点O，求异面直线 $O C_{1}$ 与 $A_{1} B$ 所成角的余弦值．

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16、错排问题最早由伯努利与欧拉系统研究，历史上称为伯努利一欧拉的装错信封问题.现在定义错排数 $F (n, m)$ 为将 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ 共 $n$ 个元素排列在 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ， $\dots$ ， $b_{n}$ 共 $n$ 个位置上，其中有 $m$ 个元素不在其对应位置上的情况数（ $a_{k}$ 的对应位置为 $b_{k}$ ， $k \in N^{*}$ ， $k \leq n$ ）.容易得到， $F (1, 1) = 0$ ， $F (2, 2) = 1$ ， $F (3, 3) = 2$ ，规定 $F (0, 0) = 1$ .

(1)、计算： $F (4, 4)$ ， $F (5, 5)$ ；

(2)、记 $d_{n} = \frac{F (n + 1, n + 1)}{F (n, n) + F (n - 1, n - 1)}$ ， $\{d_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2} (n \in N^{*})$ ；

(3)、定义错排概率 $P (n, m)$ 为随机将 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ 共 $n$ 个元素排列在 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ， $\dots$ ， $b_{n}$ 共 $n$ 个位置上，其中恰有 $m$ 个元素不在其对应位置上的概率，证明： $P (n, m) = \frac{1}{(n - m)!} \cdot \sum_{i = 0}^{m} \frac{{(- 1)}^{i}}{i!}$ .

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17、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过点 $R (n p, 0) (n > 0)$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点.

(1)、当 $n = \frac{1}{2}$ 时，
（i）若点 $H$ 在 $C$ 的准线上，且满足 $R H ⊥ P Q, |P R| = 4 |Q R|$ ，求 $\frac{|P H|}{|Q H|}$ 的值；
（ii）若点 $M$ ， $N$ 在 $x$ 轴上，且满足 $M P ⊥ l, N Q ⊥ l$ ，求 $|M N|$ 取得最小值时 $k$ 的值.

(2)、若存在 $n > 0$ ，使得 $\frac{1}{{|P R|}^{2}} + \frac{1}{{|Q R|}^{2}} = λ$ 对任意实数 $k$ 成立，求 $n$ 的值.

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18、已知函数 $f (x) = a x^{2} - x \ln x + 2$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与 $y = a x^{2} + (2 a + 3) x$ 的图象有且仅有一个交点，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围．

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $E$ 为 $P B$ 的中点， $A B = A P = 4, sin ∠ B P D = sin ∠ D B P$ .

(1)、证明： $B P ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、若 $A B ⊥ B C, ∠ P A B = 60 °$ ，直线 $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $30 °$ ，求二面角 $A - B D - E$ 的正弦值.

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20、已知 $(x^{5} - \frac{3}{x}) {(a x + \frac{1}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式中各项系数的和是2，则展开式中 $x$ 的系数为.（用数字作答）

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