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相关试卷

1、已知某扇形的周长和面积均为18，则扇形的圆心角的弧度数可能为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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2、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, D$ 为 $B C$ 上一点，且 $A D sin ∠ A D B = c sin C, a - b = 1$ ． $cos A = \frac{7}{25}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、8 B、9 C、12 D、14

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3、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足对任意实数 $x, y$ 都有 $f (x + y) = f (x) + f (y) - 1$ ，若 $x > 0$ 时， $f (x) > 1$ ，则 $f (x)$ （）

A、先单调通减后单调递增 B、在 $R$ 上单调递增 C、在 $R$ 上单调通减 D、单调性不确定

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4、用斜二测画法得到一个水平放置的四边形 $O A B C$ 的直观图为如图所示的直角梯形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，已知 $O^{'} A^{'} ∥ C^{'} B^{'}, O^{'} A^{'} ⊥ A^{'} B^{'}, O^{'} A^{'} = 3 C^{'} B^{'}$ ，四边形 $O A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{2}$ ，则 $C^{'} B^{'} =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5、已知平面向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ 与 $\vec{b} = (2 + x, - 8)$ 共线，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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6、已知集合 $A = \{x |y = {log}_{2} x \leq 1\}, B = \{x ||x| \leq 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 1]$ B、 $[- 1, 2]$ C、 $(- 1, 1]$ D、 $(1, 2]$

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7、在数学实践课堂上小明将手中的非等腰直角三角形板绕着该直角板的斜边旋转一周，得到的几何体为（）

A、圆柱 B、两个大小相同的圆锥组成的组合体 C、两个大小不同的圆锥组成的组合体 D、八面体

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8、已知 $f (x) = e^{a x} - x - 1$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x) \geq 0$ ；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $n \in Z^{*}$ ， $n \geq 2$ ，证明： $1 + 2^{\frac{1}{2}} + 3^{\frac{1}{3}} + \dots +$ $n^{\frac{1}{n}} > n + \ln (n + 2) - \ln 3$ ．

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ， $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点， $R$ 为椭圆上的一点，且 $△ R F_{1} F_{2}$ 的周长为 $6$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过 $F_{2}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与椭圆交于 $E, F$ 两点（点 $E$ 在第一象限）， $P, Q$ 是椭圆 $C$ 上位于直线 $l$ 两侧的动点，始终保持 $∠ Q E F = ∠ P E F$ ，求证：直线 $P Q$ 的斜率为定值.

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10、高中必修课程结束之后，学生需要从物理、化学、生物、历史、地理、政治六科中选择三科，继续学习选择性必修课程．某地记者为了了解本地区高一学生的选择意向，随机采访了100 名学生作为样本进行情况调研，得到下表：

组别	选考科目	频数
第1 组	历史、地理、政治	20
第2 组	物理、化学、生物	17
第 3 组	生物、历史、地理	14
第 4 组	化学、生物、地理	12
第5 组	物理、化学、地理	10
第6 组	物理、生物、地理	9
第7组	化学、历史、地理	7
第8组	物理、历史、地理	5
第 9 组	化学、生物、政治	4
第 10 组	生物、地理、政治	2
		合计： 100

(1)、从样本中随机选1 名学生，求该学生选择了化学的概率；

(2)、从第

8

组、第

9

组、第

10

组中，随机选2名学生，记其中选择政治的人数为

X

，求

X

的分布列和期望．

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11、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 25$ ， $a_{2} + a_{5} + a_{10} = 31$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式以及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = 3^{n} \cdot a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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12、两个等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 、 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{5 n + 2}{n + 3}$ ，则 $\frac{a_{2} + a_{20}}{b_{7} + b_{15}}$ 等于

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13、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{3} - a x - b + 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = 3$ 时，若 $f (x)$ 有三个零点，则b的取值范围为 $(- 4, 0)$ B、若 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = 3 - f (x)$ ，则 $a + b = - 1$ C、若过点 $(2, m)$ 可作出曲线 $g (x) = f (x) - 3 x + a x + b$ 的三条切线，则 $- 5 < m < - 4$ D、若 $f (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) = f (x_{1})$ ，其中 $x_{0} \neq x_{1}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{0} = 3$

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14、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > n > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 有共同的焦点 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 为两曲线的一个公共点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ ，椭圆的离心率为 $e_{1}$ ，双曲线的离心率为 $e_{2}$ ，那么 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 最小为（）

A、 $\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 \ln x$ 的图像在 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, f (x_{2}))$ 两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 2$ B、 $x_{1} + x_{2} = \frac{10}{3}$ C、 $x_{1} x_{2} = 2$ D、 $x_{1} x_{2} = \frac{10}{3}$

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16、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 5 a_{2} + 6 a_{1}$ ，则公比 $q$ 为（）

A、1或5 B、5 C、1或 $- 5$ D、5或 $- 1$

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17、设 ${(1 + x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n} (n \in N^{*})$ ，若 $a_{1} = a_{5}$ ，则 $n$ 的值为（）

A、4 B、6 C、7 D、8

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18、欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为 $e^{i x} = cos x + isin x$ ， i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（ $e$ 为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（）

A、复数 $e^{i \frac{π}{2}}$ 为纯虚数 B、复数 $e^{i 3}$ 对应的点位于第二象限 C、复数 $e^{i \frac{π}{3}}$ 的共轭复数为 $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ D、复数 $e^{i θ} (θ \in [0, π])$ 的模长为1

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19、已知正 $n (n \geq 3)$ 棱锥的侧棱长为3，则其体积可能为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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20、设等比数列： $a, p_{1}, p_{2}, \dots, p_{s}, b, q_{1}, q_{2}, \dots, q_{t}, c$ 的公比为q，其中 $s, t$ 都为正奇数， $a, b, c$ 构成单调递增的正项等差数列．

(1)、求证： $|q| > 1$ ；

(2)、求证： $s > t$ ；

(3)、把 $p_{1} p_{2} \dots p_{s} q_{1} q_{2} \dots q_{t}$ 用 $a, c, s, t$ 表示．

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