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相关试卷

1、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2 A A_{1} = 4$ ， O为AB的中点，D为 $A_{1} O$ 的中点．

(1)、证明： $A D ⊥$ 平面 $A_{1} O C$ ；

(2)、求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $A_{1} O C$ 夹角的余弦值．

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2、已知 $\vec{a} = (x - 2, 2 x - 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x =$ ．

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3、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图，若 $f (x)$ 的相邻两个零点间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = \frac{π}{6}$ C、 $f (x)$ 的零点形成的集合为 ${x | x = k π - \frac{π}{12}} (k \in Z)$ D、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[k π + \frac{π}{6}, k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$

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4、某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则（）

A、讲座前问卷答题的正确率的中位数为72.5% B、讲座后问卷答题的正确率的众数为85% C、讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后正确率的方差 D、讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

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5、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = 3$ ，且 $a_{n + 1} = 4 a_{n} + 6 n - 5 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{15} =$ （）

A、 $4^{15} - 15$ B、 $2^{15} - 29$ C、 $2^{15} - 15$ D、 $4^{15} - 29$

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6、若双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，右焦点为 $F$ ，点E的坐标为 $(\frac{b}{a}, \frac{c}{b})$ ，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、不确定

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7、甲乙两名大学生计划今年五一假期分别从岳阳楼，常德桃花源，天门山，长沙橘子洲头，茶峒古镇五个不同的景区随机选三个景区前往打卡旅游，则两人恰好有两个景区相同的选法共有（）

A、36种 B、48种 C、60种 D、72种

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8、已知集合 $A = {x \in N | x^{2} < 16}$ ， $B = {x | x - 2 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${x ∣ - 4 < x \leq 2}$ D、 ${x ∣ 0 < x \leq 2}$

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9、如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 3$ ， $A B = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $A_{1} F / /$ 平面 $C D E$ .

(2)、求 $A_{1} E$ 与平面 $C D E$ 所成角的正弦值.

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10、已知函数 $f (x) = \log_{a} x - \frac{1}{x}$ （ $a > 1$ ）.

(1)、若 $f (x)$ 在 $[2, 4]$ 上的最小值为 $\frac{1}{2}$ ，求a的值；

(2)、证明： $f (x)$ 存在唯一零点 $x_{0}$ 且满足 $a^{\frac{2}{a} - \frac{x_{0}}{a^{2}}} + x_{0}^{2} - x_{0} - \frac{1}{x_{0}^{2}} < a^{2}$ .

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11、对于三个实数a，b，k，若 $(1 + a^{2}) (1 + b^{2}) \geq k | a - b | | 1 - a b |$ 成立，则称a，b具有“性质k”.

(1)、 $\forall x \in R$ ，判断x，0是否具有“性质2”？

(2)、 $\forall y \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ ，判断 $\tan y$ ， 0是否具有“性质4”？

(3)、若存在 $x_{0} \in [\frac{3 π}{4}, 2 π)$ 及 $t_{0} \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，使得 $\sin 2 x_{0} - 2 \sin x_{0} - t_{0} - \frac{1}{t_{0}} - m \leq 0$ 成立， $\sin x_{0}$ ， 1具有“性质2”，求实数m的取值范围.

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12、在 $△ A B C$ 中，D是线段BC上的一点（不含端点）， $∠ A D C = \frac{π}{3}$ .

(1)、若 $A C \cdot \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求AD的长；

(2)、若 $∠ C A D = 2 ∠ B A D$ ，求 $\frac{B D}{C D}$ 的取值范围.

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13、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $A B$ 上，且 $\vec{A E} = 2 \vec{E B}, M$ 是线段 $C E$ 上一动点.

(1)、 $\vec{M E} = m \vec{M A} + n \vec{M B}, m, n \in R$ ，求 $m \cdot n$ 的值；

(2)、若 $A B = 9, \vec{C A} \cdot \vec{C E} = 43$ ，求 $(\vec{M A} + 2 \vec{M B}) \cdot \vec{M C}$ 的最小值.

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14、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 90 °$ ， $∠ A D C = 120 °$ ， $A B = 3 \sqrt{3}$ ， $C D = 2$ ， $A D = 1$ .

(1)、求点 $C$ 到 $A D$ 所在的直线的距离；

(2)、以 $A D$ 所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，求该几何体的体积.

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15、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a^{2} - b^{2} = 2 c^{2} \cos C$ ，若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\frac{a}{b \cos^{2} B}$ 的取值范围是.

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16、若 $a > 0$ ， $b > 0$ 且满足 $2 a + b = 2$ ，则 $\frac{4}{a} + \frac{a}{b}$ 的最小值是．

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17、已知 $\tan α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $\sin 2 α =$ .

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18、已知向量 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 满足： $\vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 和 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 相互垂直，又对任意 $λ \in R$ 不等式 $| \vec{a} - λ \vec{b} | \geq | \vec{a} - \vec{b} |$ 恒成立，若 $\vec{c} = \frac{u + 2}{3} \vec{a} + \frac{4 - u}{2} \vec{b} (u \in R)$ ，则 $|\vec{c}|$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{6 \sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{5 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{6 \sqrt{39}}{13}$

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19、函数 $y = sin (ω x + φ)$ （其中常数 $ω > 0$ ， $|φ| \leq \frac{π}{3}$ ）的最小正周期是 $π$ ，若其图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，所得图像关于原点中心对称，则原函数的图象（）

A、关于点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 中心对称 B、关于点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 中心对称 C、关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 轴对称 D、关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 轴对称

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20、某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量某山峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高PQ为（）米

A、 $45 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ B、 $45 (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ C、 $90 (\sqrt{3} - 1)$ D、 $90 (\sqrt{3} + 1)$

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