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相关试卷

1、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ （ $|F_{1} F_{2}| < 10$ ），上顶点为A， $A F_{1} ⊥ A F_{2}$ ，且 $F_{1}$ 到直线l： $x - \sqrt{2} y + 5 = 0$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求C的方程；

(2)、与l平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；

(3)、P为C上的动点，M，N为l上的动点，且 $|M N| = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ P M N$ 面积的取值范围．

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2、已知函数 $f (x) = \frac{x - a}{x} - \ln x (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{e}, e]$ 上的最大值 $g (a)$ ．

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3、已知直线 $l$ ： $(a - 1) y = (2 a - 3) x + 1$ .

(1)、求证：直线 $l$ 过定点，并求出此定点的坐标；

(2)、若直线 $l$ 与两坐标轴的正半轴围成的三角形，求三角形面积的最小值，并求此时直线 $l$ 的方程.

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4、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{n}^{2} + a_{n} = 2 S_{n}$ ，若 $λ > \frac{a_{n}^{3}}{3^{n}}$ 对 $\forall n \in N^{*}$ 恒成立，则 $λ$ 的取值范围是.

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5、已知圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ ，点 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，点 $P$ 为圆上的动点，则 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2}$ 的最大值是.

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6、甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，若甲、乙两人射击的命中率分别为 $\frac{3}{5}$ 和 $\frac{3}{4}$ ，假设两人射击互不影响.则两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为.

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7、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{23} > 0$ ， $S_{24} < 0$ ，则下列结论错误的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 B、 $a_{13} > 0$ C、当 $S_{n}$ 取得最大值时， $n = 13$ D、 $|a_{13}| > |a_{12}|$

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8、为了向社会输送优秀毕业生，中等职业学校越来越重视学生的实际操作（简称实操）能力的培养．中职生小王在对口工厂完成实操产品100件，质检人员测量其质量（单位：克），将所得数据分成5组： $[95, 97), [97, 99), [99, 101), [101, 10), [103, 105]$ ．根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中质量在 $[99, 101)$ 内的为优等品．对于这100件产品，下列说法正确的是（）

A、质量的平均数为99.7克（同一区间的平均数用区间中点值代替） B、优等品有45件 C、质量的众数在区间 $[98, 100)$ 内 D、质量的中位数在区间 $[99, 101)$ 内

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9、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，若直线 $x - y - 2 a = 0$ 是函数 $y = \ln (x + b - 1) + 1$ 的一条切线，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值是（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $8$ D、 $16$

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10、已知原点为 $O$ ，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与直线 $l : x - y + 1 = 0$ 交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 的中点为 $M$ ，若直线 $O M$ 的斜率为 $- \frac{1}{4}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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11、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 2$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4} - 2$ 成等差数列，则 $S_{4} =$ （）

A、7 B、12 C、15 D、31

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12、袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率 $P =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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13、(多选)下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt[4]{{(3 - π)}^{4}} = π - 3$ B、 $e^{2 x} = {(e^{x})}^{2}$ C、 $\sqrt[3]{{(a - b)}^{3}} = a - b$ D、 $\sqrt{a b} =$ $\sqrt{a}$ · $\sqrt{b}$

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14、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $3 a sin C = 4 c cos A$ ．

(1)、求 $cos A$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $\frac{b}{c}$ 的取值范围．

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15、已知函数 $f (x) = sin 2 x + a cos 2 x (a > 0)$ 的最大值为2．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 的对称轴方程和 $f (x)$ 的单调递增区间．

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16、已知复数 $z = (m^{2} + m - 6) + (m^{2} - m - 2) i, m > 0$ ．

(1)、若 $z \in R$ ，求 $|z + 2 i|$ 的值；

(2)、 $z$ 在复平面内对应的点能否位于直线 $y = x$ 上？若能，求 $(z - i) \cdot (\bar{z} + i)$ ；若不能，说明理由．

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17、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A F} = \vec{F C}, 2 \vec{B D} = \vec{B C}, E$ 为 $A D$ 上靠近点 $D$ 的三等分点，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 分别表示 $\vec{A E}, \vec{B F}$ ；

(2)、证明： $B, E, F$ 三点共线．

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18、已知 $m > 0$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x}, x \leq m \\ - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{8}{3}, x > m \end{array}$ 的值域为 $(- \infty, 2^{m}]$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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19、已知正数 $x, y$ 满足 $2 x + 4 y = 1$ ，则当 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 取得最小值时， $x =$ ， $y =$ ．

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20、当一束光通过一个吸光物质（通常为溶液）时，溶质吸收了光能，光的强度减弱；吸光度就是用来衡量光被吸收程度的一个物理量，其影响因素有溶剂、浓度、温度．分析物浓度越高，穿过材料的光子被吸收的机会就越大．吸光度的测量简便高效，因此被广泛应用于液体和气体的光谱测量技术，集成至工业测试系统，还可以用于科研分析．其中透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例．在实际生产和生活中，通常用吸光度 $A$ 和透光率 $T$ 来衡量物体材料的透光性能，著名的朗伯—比尔定律表明了两者之间的等量关系为 $A = - lg T = lg \frac{I_{0}}{I}$ ，其中， $A$ 是吸光度， $T$ 为透光率， $I_{0}$ 为入射光强度， $I$ 为透射光强度，某化学有机高分子材料研究所测得了如下表不同有机高分子材料的透光率：
有机高分子材料
塑料
纤维
薄膜
T
0.6
0.7
0.8
设塑料、纤维、薄膜的吸光度分别为 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ ，则（）

A、 $A_{1} < 2 A_{2}$ B、 $A_{2} + A_{3} < A_{1}$ C、 $A_{1} + A_{3} > 2 A_{2}$ D、 $A_{1} A_{3} > A_{2}^{2}$

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有机高分子材料	塑料	纤维	薄膜
T	0.6	0.7	0.8