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相关试卷

1、已知随机变量 $X \sim B (n, p)$ ，若 $D (2 X) = 2 E (X)$ ，则 $p =$ （）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，利用公式 $\{\begin{cases} x^{'} = a x + b y \\ y^{'} = c x + d y \end{cases}$ ①（其中 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 为常数），将点 $P (x, y)$ 变换为点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 组成的正方形数表 $(\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array})$ 唯一确定，我们将 $(\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array})$ 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母 $A$ ， $B$ ， …表示．

(1)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将点 $P (3, 4)$ 绕原点 $O$ 按逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 得到点 $P^{'}$ （到原点距离不变），求点 $P^{'}$ 的坐标；

(2)、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将点 $P (x, y)$ 绕原点 $O$ 按逆时针旋转 $α$ 角得到点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ （到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；

(3)、向量 $\vec{O P} = (x, y)$ （称为行向量形式），也可以写成 $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array})$ ，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为： $(\begin{array}{l} x^{'} \\ y^{'} \end{array}) = (\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}) (\begin{array}{l} x \\ y \end{array})$ ，则称 $(\begin{array}{l} x^{'} \\ y^{'} \end{array})$ 是二阶矩阵 $(\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array})$ 与向量 $(\begin{array}{l} x \\ y \end{array})$ 的乘积，设 $A$ 是一个二阶矩阵， $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 是平面上的任意两个向量，求证： $A (\vec{m} + \vec{n}) = A \vec{m} + A \vec{n}$ ．

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{n^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (n > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， P是直线 $l : x = 4$ 上的一动点，点Q在椭圆C上.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、若 $|P Q|$ 的最小值小于 $\frac{5}{2}$ ，且直线 $O Q$ ， $P Q$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ， O为坐标原点，请问平面内是否存在定点T，满足 $P T ⊥ Q T$ 恒成立？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.

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4、中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返回．为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）．
关注
没关注
合计
男
女
合计
附：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$
（1）完成上面的2×2列联表，并计算回答是否有95%的把握认为“对‘嫦娥五号’关注程度与性别有关”？
（2）若将频率视为概率，现从该中学高三的女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对“嫦娥五号”新闻关注的人数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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5、已知函数 $f (x) = 2 x - \frac{4}{x} - 6 \ln x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若关于x的方程 $f^{'} (x) = \frac{4 - a}{x^{2}} (a \in R)$ 有两个不同的解，求a的取值范围.

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6、已知 $x > 0, y > 0$ ，则 $\frac{2 x y}{x^{2} + 4 y^{2}} + \frac{x y}{x^{2} + y^{2}}$ 的最大值是.

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7、函数 $f (x) = 3 \cos x - 4 \sin x$ ，若“ $x = α$ ”是“ $f (x)$ 取得最大值”的充分条件，则 $\sin α =$ .

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8、已知向量 $\vec{a} = (2 m, 3)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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9、某校数学兴趣小组的成员在研究一组数字，已知该组数字均为正整数，总个数为M，其中最大的数字为E（ $E \geq 4$ ），且在 $[1, E]$ 内的每一个整数均出现在该组数字中，该组数字满足如下规律：对该组数字中的任意正整数a（ $a < E$ ），数字a的个数是所有不小于a的数字的个数的10%.现在从这组数字中任取一个数字，记“数字为n”为事件 $A_{n}$ ， “数字不小于n”为事件 $B_{n}$ ，其中 $n < E$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $P (A_{2}) = \frac{1}{100}$ B、 $P (B_{n}) = {(\frac{9}{10})}^{n - 1}$ C、 $P (A_{E}) = {(\frac{9}{10})}^{E - 1}$ D、 $P (B_{n + 1}) = 10 P (A_{n + 1})$

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10、若 $(2 + i) \cdot z = 3 + a i$ （ $a \in N$ ），则（）

A、z有可能为实数 B、z不可能为纯虚数 C、 $|z|$ 的最小值为 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、若 $|z| = 3$ ，则 $a = 6$

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11、对于二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2 x})}^{6}$ ，下列说法正确的是（）

A、展开式中的常数项为 $\frac{15}{4}$ B、展开式中的常数项为 $\frac{15}{2}$ C、展开式中的有理项有3项 D、展开式中的有理项有4项

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与双曲线的两支分别交于点 $A ， B ，$ 若 $△ A B F_{2}$ 为正三角形，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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13、函数 $f (x) = \tan x + \frac{1}{x^{3}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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14、如图所示， $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是棱长为 $3$ 的正方体， $M$ ， $N$ 分别是下底面的棱 $A_{1} B_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 是上底面的棱 $A D$ 上的一点， $2 A P = D P$ ，过点 $P$ ， $M$ ， $N$ 的平面交上底面于 $P Q$ ，点 $Q$ 在 $C D$ 上，则 $P Q =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2$

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15、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} + a_{4} = 1$ ， $a_{6} + a_{8} = 9$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、3 B、4 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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16、函数 $f (x) = \frac{x}{x - 1}$ 的图象在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程为（）

A、 $x - y = 0$ B、 $x + y - 2 = 0$ C、 $x + y - 4 = 0$ D、 $x - y + 2 = 0$

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17、某餐饮店在网络平台推出一些团购活动后，每天团购券的核销量 $X \sim N (100, 256)$ （单位：张），则200天中团购券的核销量在84到132张的天数大约是（）
（若随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ）

A、191 B、137 C、159 D、164

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18、若抛物线 $x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ）的焦点到准线的距离为 $2$ ，则该抛物线的焦点坐标为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(1, 0)$ D、 $(2, 0)$

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19、已知集合 $A = \{1, 2, 4, 7, 9\}$ ， $B = \{x| 1 < x < 9\}$ ，则集合 $A \cap B =$ （）

A、 $[1, 9]$ B、 $\{2, 4, 7\}$ C、 $\{2, 4, 7, 9\}$ D、 $\{1, 2, 4, 7, 9\}$

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20、函数 $f (x) = a ln x + \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x + \frac{3}{2} (a > 0)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、当 $a = 1$ 时，若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，求证： $x_{1} + x_{2} \geq 2$ ；

(3)、求证：对于任意 $n \in N^{*}$ 都有 $2 ln (n + 1) + \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{i - 1}{i})}^{2} > n$ .

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.150	0.100	0.050	0.010	0.005
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879

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