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相关试卷

1、“以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方法求高次方程的根．如图，r是函数 $f (x)$ 的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数 $x_{0}$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，其中 $x_{1}$ 是 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线与x轴交点的横坐标， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 在 $x = x_{1}$ 处的切线与x轴交点的横坐标，…，依次类推．当 $|x_{n} - r|$ 足够小时，就可以把 $x_{n}$ 的值作为方程 $f (x) = 0$ 的近似解．若 $f (x) = \frac{1}{15} x^{3} - \frac{3}{5} x^{2} + 2 x - \frac{12}{5}$ ， $x_{0} = 4$ ，则方程 $f (x) = 0$ 的近似解 $x_{1} =$ ．

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2、中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设 $a, b, m (m > 0)$ 为整数，若 $a$ 和 $b$ 被m除得的余数相同，则称 $a$ 和 $b$ 对模m同余，记为 $a = b (\mod m)$ .若 $a = C_{20}^{0} + C_{20}^{1} \cdot 2 + C_{20}^{2} \cdot 2^{2} + \dots + C_{20}^{20} \cdot 2^{20}$ ， $a = b (\mod 8)$ ，则 $b$ 的值可以是（）

A、2025 B、2026 C、2017 D、2018

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3、一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为 $X_{1}$ ，期望和方差分别为 $E (X_{1})$ ， $D (X_{1})$ ；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为 $X_{2}$ ，期望和方差分别为 $E (X_{2})$ ， $D (X_{2})$ ；则（）

A、 $E (X_{1}) = E (X_{2})$ B、 $E (X_{1}) > E (X_{2})$ C、 $D (X_{1}) > D (X_{2})$ D、 $D (X_{1}) < D (X_{2})$

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4、设函数 $y = f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f^{'} (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上的导函数为 $f^{″} (x)$ ，若在区间 $(a, b)$ 上 $f^{″} (x) < 0$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上为“凸函数”．已知 $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{6} m x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ 在 $(1, 3)$ 上为凸函数”，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{31}{9})$ B、 $[\frac{31}{9}, 5]$ C、 $(- \infty, - 2)$ D、 $[2, + \infty)$

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5、已知函数 $f (x) = |x + 2| + |x + m| (m \in R)$ ，且 $f (x) \leq 4$ 的解集为 $[- \frac{5}{2}, \frac{3}{2}] .$

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、设函数 $g (x) = |x - a| (a \in R)$ ，若存在 $x \in [0, 1]$ 使 $f (x) > g (x)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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6、在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ + |\frac{2 \sqrt{3}}{3} cos θ| = |2 sin θ|$

(1)、求曲线C的直角坐标方程；

(2)、求曲线 C围成的图形的面积.

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7、已知函数 $f (x) = \ln x, g (x) = \frac{e^{x}}{e} - 1$ .

(1)、记函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ，求函数 $h (x)$ 的极大值点；

(2)、记函数 $m (x) = f (x) - a g (x)$ ，讨论函数 $m (x)$ 的零点个数.

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8、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0 ）$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， C的右顶点到直线 $l : x = \frac{a^{2}}{c}$ 的距离为 $\sqrt{3} - 1$ ，双曲线右支上的点到 $F_{1}$ 的最短距离为 $3 + \sqrt{3} ，$

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、过 $F_{2}$ 的直线与C交于M、N两点，连接 $M F_{1}$ 交l于点Q，证明：直线QN过x轴上一定点.

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9、三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{1 + \sin 2 B + \cos 2 B}{\sin 2 B + 2 \sin^{2} B} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $A C$ 边上的中线长为2，求 $b$ 的最小值.

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10、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E, F, G$ 分别是 $C C_{1}, B C, A D$ 的中点.

(1)、求证： $C G$ $/ /$ 面 $D_{1} E F$ ；

(2)、求点 $G$ 到平面 $D_{1} E F$ 的距离.

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11、为了提高某海洋公园的知名度，吸引更多游客游玩.公园管理团队决定进行自媒体直播，线上与线下同时进行门票销售，助力该海洋公园的发展.团队在前7个月的直播中，门票销售额如下表所示：
时间代码x（单位：月）
1
2
3
4
5
6
7.
销售额y（单位：万元）
0.84
1.37
2.76
4.43
5.49
7.66
8.94
对数据进行处理后，得到如下统计量的值（符合线性回归关系）：
$\bar{y}$
$\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} \end{matrix}$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2}$
4.5
165.2
140
参考公式： $\hat{b} = \frac{\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} \end{matrix} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x} .$

(1)、根据表格中的数据，求出y关于x的线性回归方程；

(2)、若直播当月销售额超过12万元，能被相关部门评选为“优秀管理团队”，请预测该团队在直播后的第几个月能被评选为“优秀管理团队”.

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12、数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{π}{4},cos a_{n} = \frac{1}{tan a_{n + 1}} (n \in N^{*}), a_{n} \in (0, \frac{π}{2})$ ，若不等式 $sin a_{1} \cdot sin a_{2} \dots sin a_{m} \geq \frac{1}{6}$ 恒成立，则正整数 $m$ 的最大值为.

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13、已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上下底面边长分别为4，6，若正四棱台的外接球的表面积为 $104 π$ ，则正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积

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14、已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} \sin ω x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos ω x (ω > 0)$ 对任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x) \leq f (\frac{π}{4})$ ，则 $ω$ 的最小值为.

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15、2024年2月，教育部办公厅印发通知，就实施银龄教师支持民办教育行动有关工作进行部署.明确组织遴选一批优秀退休教师，面向各级各类民办学校，特别是民办高校开展支教、支研.某省现有符合条件的退休教师 $600$ 人，随机编号为 $001, 002, \dots, 600$ ，现采用系统抽样方法抽取 $24$ 人参加对口支教活动，分组后在第一组随机抽得的编号为 $006$ ，则在第五组中应抽取的编号为.

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16、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上一点，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心为 $M$ ，连接 $P M$ 并延长交 $x$ 轴于点 $Q$ ，且 $|P M| = \sqrt{3} |Q M|$ ，则椭圆的短轴长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$

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17、已知 $a = ln \frac{5}{4}, b = tan \frac{1}{4}, c \cdot ln c = 1,$ 则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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18、在区间 $(0, 1)$ 上随机取一个数 $k$ ，使直线 $y = k x + 1 - k$ 与函数 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 的图象有两个公共点的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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19、定义在R上的函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且函数 $y = g (2 x - 1) + 1$ 为奇函数，则函数 $y = f (x)$ 图象的对称中心是（）

A、 $(- 1, - 1)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(3, 1)$ D、 $(3, - 1)$

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20、已知函数 $f (x) = a x + a + \cos x (a \in R)$ ，则曲线 $y = f (x)$ 上一点 $(0, - 2)$ 处的切线方程为（）

A、 $2 x + y + 2 = 0$ B、 $x + y + 2 = 0$ C、 $3 x + y + 2 = 0$ D、 $3 x + y - 2 = 0$

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时间代码x（单位：月）	1	2	3	4	5	6	7.
销售额y（单位：万元）	0.84	1.37	2.76	4.43	5.49	7.66	8.94

$\bar{y}$	$\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} \end{matrix}$	$\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2}$
4.5	165.2	140