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相关试卷

1、如图，圆 $C$ 的半径为2.

(1)、设 $A B$ 为圆 $C$ 的一条弦，如图①，当 $∠ C A B = 60 °$ 时，
（i）当 $t$ 取何值时， $|\vec{A C} - t \vec{A B}|$ 取得最小值，并求出此最小值；
（ii）设 $M$ 是圆 $C$ 上的一动点，求 $\vec{A M} \cdot \vec{A B}$ 的最大值；

(2)、设 $P Q$ 、 $P R$ 为圆 $C$ 的两条弦，如图②，已知 $∠ Q P R = 60 °$ ，求 $\vec{P Q} \cdot \vec{P R}$ 的最大值.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ， $E$ 为线段 $B C$ 的中点， $F$ 为线段 $P B$ 上的动点.

(1)、当 $F$ 为线段 $P B$ 的中点时，
（ⅰ）求证： $A F ⊥$ 平面 $P B C$ ；
（ⅱ）求二面角 $F - A E - B$ 的余弦值：

(2)、在线段 $P B$ 上是否存在点 $F$ ，使得 $P D //$ 平面 $A E F$ ，若存在，求出此时 $\frac{P F}{F B}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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3、在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{2}$ ， $B C = 3$ ， $B = 45 °$ .

(1)、求 $sin C$ 的值；

(2)、取一点 $D$ ，使得 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，求点 $C$ 到直线 $A D$ 的距离.

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4、某校为了解高一学生的客家话水平，随机抽取了100名学生进行问卷测试，将这100名学生测试的得分按 $[75, 80)$ ， $[80, 85)$ ， $[85, 90)$ ， $[90, 95)$ ， $[95, 100]$ 分成5组，并绘制出频率分布直方图，如图所示，设定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、估计样本的中位数与平均数；

(3)、如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”两类学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么恰有一人是“优秀”的概率是多少？

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5、已知 $1 - 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，其中 $p, q \in R$ ， .

(1)、求 $p$ 、 $q$ 的值；

(2)、在复数范围内，求该方程的另一根.

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6、已知一个正三棱台的上、下底面边长分别为3，6，侧棱长为2，则该三棱台的外接球的表面积为.

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7、在 $△ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边， $A = \frac{π}{3}$ ， $b = 4$ ，若该三角形有两个解，则边 $a$ 的长的取值范围为.

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8、计算： $\frac{1 + 2 i}{i} =$ .

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9、群的概念由法国天才数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.
群的定义如下：设 $G$ 是一个非空集合，“*”是 $G$ 上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
①封闭性：对任意的 $a$ ， $b \in G$ ，有 $a * b \in G$ ；
②结合律成立：对任意的 $a$ ， $b$ ， $c \in G$ ，有 $(a * b) * c = a * (b * c)$ ；
③单位元存在：存在 $e \in G$ ，使得对任意的 $a \in G$ ，有 $e * a = a * e = a$ ， $e$ 称为单位元；
④逆元存在：对任意的 $a \in G$ ，存在 $b \in G$ ，使 $a * b = b * a = e$ ，称 $a$ 与 $b$ 互为逆元.
则称 $G$ 关于“*”新构成一个群.则下列结论正确的有（）

A、自然数集 $N$ 关于数的加法构成群 B、某一平面上的所有向量组成的集合关于向量的加法构成群 C、 $G = \{- 1, 1, - i, i\}$ （ $i$ 为虚数单位）关于复数的乘法构成群 D、 $G = \{a + \sqrt{2} b |a, b \in Q, a b \neq 0\}$ 关于数的乘法构成群

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10、下图是函数 $f (x) = 2 sin (3 x + φ)$ 的部分图象，下列说法正确的是（）

A、点 $A$ 的坐标为 $(\frac{π}{3}, 0)$ B、 $φ$ 的一个可能值是 $\frac{π}{4}$ C、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后，所得图象对应的函数是奇函数 D、 $f (- \frac{7 π}{15}) < f (π)$

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11、设 $m$ 、 $n$ 是两条不同的直线， $α$ 、 $β$ 是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）

A、若 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m$ 、 $n$ 是异面直线 B、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m / / n$ C、若 $α // β$ ， $m \subset α$ ，则 $m // β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$

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12、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $C A = 3$ ， $C B = 2$ ， $D$ 是 $A C$ 边上靠近点 $C$ 的三等分点， $E$ 是 $A B$ 的中点， $C E$ 与 $B D$ 交于点 $M$ ， $cos ∠ D M E =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{65}}{65}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{65}}{65}$ C、 $- \frac{\sqrt{13}}{13}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{13}}{13}$

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13、甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙能破译的概率为 $\frac{1}{2}$ ，则密码被成功破译的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5}{6}$

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14、若三点 $A (2, - 3)$ ， $B (4, 3)$ ， $C (5, t)$ 在同一条直线上，则 $t =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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15、某校举行“爱我中华”演讲比赛，评分规则如下：对每个选手的演讲，共有 $7$ 个评委打分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数作为有效分，以有效分的平均分作为该选手的得分.设对于某选手的演讲， $7$ 个评委的原始评分分别为： $75$ 、 $80$ 、 $85$ 、 $90$ 、 $85$ 、 $95$ 、 $85$ ，则对比原始评分和有效分两组数据，下列特征数中，发生改变的是（）

A、平均数 B、中位数 C、方差 D、众数

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16、 $\cos 105^{\circ}$ 的值是

A、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

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17、如图，某图形的直观图是一个边长为2的菱形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，则原图形的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、 $8 \sqrt{2}$

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18、若复数 $z = - i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $|z| =$ （）

A、 $i$ B、0 C、 $- 1$ D、1

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19、牛顿（Isaac Newton，1643–1727）给出了求函数零点近似值的一种方法——牛顿切线法：如图，设r是 $y = f (x)$ 的一个零点，任意选取 $x_{0}$ 作为r的初始近似值，在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{1}$ ， $l_{1}$ 与x轴的交点横坐标为 $x_{1}$ ，称 $x_{1}$ 为r的1次近似值；在点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{2}$ ， $l_{2}$ 与x轴的交点横坐标为 $x_{2}$ ，称 $x_{2}$ 为r的2次近似值.一般地，在点 $(x_{n}, f (x_{n}))$ 处作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{n + 1}$ ， $l_{n + 1}$ 与x轴的交点横坐标为 $x_{n + 1}$ ，称 $x_{n + 1}$ 为r的 $n + 1$ 次近似值，称数列 $\{x_{n}\}$ 为牛顿数列.

(1)、若 $f (x) = x^{3} + 2 x + 1$ 的零点为r， $x_{0} = 0$ ，试用牛顿切线法求r的2次近似值；

(2)、已知 $g (x) = (x - b) (x - c) (c > b)$ ，数列 $\{x_{n}\}$ 为 $g (x)$ 的牛顿数列.
（ⅰ）设 $x_{n + 1} = φ (x_{n})$ ，且 $x_{n} \neq \frac{b + c}{2}$ ，求 $φ (x_{n})$ 的解析式；
（ⅱ）设数列 $\{d_{n}\}$ 满足 $d_{n} = \frac{x_{n} - b}{x_{n} - c} (n \in N^{*})$ ，且 $x_{n} > c$ ，证明： $\frac{1}{d_{1}} + \frac{1}{d_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{d_{n}} < \frac{2}{\ln d_{1}}$ .

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20、某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有 $A, B$ 两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为 $\frac{4}{5}$ ， B组每道题答对的概率均为 $\frac{3}{4}$ ， $A, B$ 两组题至少答对3题才可获得一张奖券.

(1)、设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望 $E (X)$ ；

(2)、若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由.

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