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相关试卷

1、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $C D = 4 \sqrt{3}, B C = 2 \sqrt{3}, ∠ B D C = 30 °, B C ⊥ A D$ ．

(1)、 $B C ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、当 $A B = A D = 4$ 时，求二面角 $A - B C - D$ 的正弦值．

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2、农历五月初五是端午节.这一天民间有吃粽子的习俗，据说是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国诗人屈原.粽子的形状有多种.今有某种粽子类似于由一个直角三角形绕它的一条直角边旋转 $\frac{π}{2}$ （如图）而成.如果粽子的馅可以看成是这个几何体内的一个球状物，则粽子馅的最大体积为.

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3、已知复数 $z$ 满足 $|z - 2 - 4 i| = 1$ ，当 $z$ 的虚部取最小值时， $z =$

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4、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|2 \vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ .

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5、在日常生活中，我们会看到这样的情境：两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为 $\vec{G}$ ，作用在行李包上的两个拉力分别为 $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ ，且 $|\vec{F_{1}}| = |\vec{F_{2}}|, \vec{F_{1}}$ 与 $\vec{F_{2}}$ 的夹角为 $θ$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $|\vec{F_{1}}| = \frac{|\vec{G}|}{2 cos \frac{θ}{2}}$ B、 $θ$ 越小越费力， $θ$ 越大越省力 C、当 $θ = \frac{2 π}{3}$ 时， $|\vec{F_{1}}| = |\vec{G}|$ D、 $θ$ 的范围为 $[0, π]$

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6、已知锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $(b^{2} - c^{2}) \cdot sin B = 2 S$ ，若 $a = k c$ ，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(1, 3)$ D、 $(0, 2)$

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7、在如图（1）所示的四棱锥 $A - B C D E$ 中，底面 $B C D E$ 为正方形，且侧面 $A B C$ 垂直于底面 $B C D E$ ，水平放置的侧面 $A B C$ 的斜二测直观图如图（2）所示，已知 $A^{'} B^{'} = 2$ ， $A^{'} C^{'} = 1$ ，则四棱锥 $A - B C D E$ 的侧面积是（）

A、 $12 + \sqrt{34}$ B、 $20 + 2 \sqrt{34}$ C、 $2 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}$ D、 $2 + 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}$

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8、下面四个命题：
①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；
②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；
③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；
④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个．
其中正确的是（）

A、①④ B、②③ C、①② D、③④

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9、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = \sqrt{3} A C, B = 30 °$ ，则C＝（）

A、60° B、30° C、30°或150° D、60°或120°

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10、在复平面内，复数 $\frac{3 - 4 i}{1 + i}$ （其中i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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11、从一个含有 $N$ 个个体的总体中抽取一容量为 $n$ 的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ ，三者关系可能是（）

A、 $p_{1} = p_{2} < p_{3}$ B、 $p_{1} = p_{2} = p_{3}$ C、 $p_{1} = p_{3} < p_{2}$ D、 $p_{2} = p_{3} < p_{1}$

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12、生物学上，J型增长是指在理想状态下，物种迅速爆发的一种增长方式，其表达式为 $N = N_{0} λ^{t}$ ，其中 $N_{0}$ 为初始个体数， $N$ 为最终个体数.若某种群在该模型下，个体数由100增长至120消耗了10天，则个体数由120增长至160消耗的时间大约为（）（参考数据： $\lg 2 = 0.3$ ， $\lg 3 = 0.48$ ）

A、14 B、15 C、16 D、17

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13、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 绕着 $y$ 轴旋转一周构成双曲面 $D$ ，其中 $C$ 在旋转过程中的所有实轴落在 $x O z$ 平面内，设 $x O z$ 所在的平面为 $α$ ，平面 $β$ 满足 $α // β$ ，且 $α$ 与 $β$ 之间的距离为 $\sqrt{3} b$ .

(1)、若点 $P (x, z, y)$ 在 $D$ 上，试用含 $x, z, y$ 的方程表示 $D$ （不用说明理由）.

(2)、设 $T_{α}, T_{β}$ 分别是 $α, β$ 截得 $D$ 的截面.
（i）设 $l_{α}, l_{β}$ 分别为 $T_{α}, T_{β}$ 上的弦，求 $l_{α}, l_{β}$ 所在直线间的距离的取值范围；
（ii）已知截面 $T_{β}$ 的圆周上的点 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 恰好构成正 $n$ 边形的顶点， $P$ 为 $D$ 上一动点，若对任意 $a > b > 0, λ |\sum_{i = 1}^{n} \vec{P A_{i}}| \geq n \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ 恒成立，求 $λ$ 的取值范围.

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14、已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x} - 2 e^{1 - x} (x > 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的零点个数；

(3)、证明： $f (x) \geq 3 ln x$ .

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15、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $c (2 - \cos A) = a \cos C$ .

(1)、求 $\frac{\sin B}{\sin C}$ 的值；

(2)、若 $A = 60 °$ ， $b = 6$ ， $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ，求AD的长.

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16、函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 6$ 的极小值是.

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17、设集合 $A = \{\vec{a} ∣ \vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), a_{1}, a_{2}, a_{3} \in R\}$ ，且 $\forall x \in R, \vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) \in A, \vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) \in A$ ， $\vec{a} + \vec{b} = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2}, a_{3} + b_{3}), x \vec{a} = (x a_{1}, x a_{2}, x a_{3})$ .定义运算：若满足① $\forall \vec{a} \in A, ‖ \vec{a} ‖ \geq 0$ ，且当且仅当 $\vec{a} = (0, 0, 0)$ 时， $‖ \vec{a} ‖ = 0$ ， ② $\forall \vec{a} \in A, x \in R, ‖ x \vec{a} ‖ = |x| \cdot ‖ \vec{a} ‖$ ， ③ $\forall \vec{a}, \vec{b} \in A, ‖ \vec{a} + \vec{b} ‖ \leq ‖ \vec{a} ‖ + ‖ \vec{b} ‖$ 这三个条件，则称为 $A$ 上的范数.下列结论正确的是（）

A、若为 $A$ 上的范数，且 $\exists x, y \in R, \vec{a}, \vec{b} \in A ‖ x \vec{a} +, y \vec{b} ‖ = 0$ ，则 $x = y = 0$ B、若为 $A$ 上的范数，则 $\forall x, y \in R, \vec{a}, \vec{b} \in A, ‖ x \vec{a} + y \vec{b} ‖ \leq |x| \cdot ‖ \vec{a} ‖ + |y| \cdot ‖ \vec{b} ‖$ C、定义运算 $⌈⌉ : \forall \vec{a} = (x, y, z) \in A, ⌈\vec{a}⌉ = {(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} + \sqrt[3]{z})}^{3}$ ，则为 $A$ 上的范数 D、定义运算 $⌊⌋ : \forall \vec{a} = (x, y, z) \in A, ⌊\vec{a}⌋ = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ ，则为 $A$ 上的范数

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18、如图，在直三棱柱 $A B C - D E F$ 中， $A D = A B = B C = 2, A B ⊥ B C, M$ 为 $A D$ 的中点，则（）

A、 $M E ⊥ E C$ B、三棱锥 $F - M E C$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ C、直线 $M E$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、三棱锥 $E - A B C$ 的外接球的表面积为 $4 \sqrt{3} π$

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19、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，对于任意的 $y > x > 0$ ，都有 $x f (y) - y f (x) + x^{2} y - x y^{2} > 0$ ．若 $f (4) = 4$ ，且 $f (x + a) < x^{2} + (2 a - 3) x + a^{2} - 3 a$ 在 $x \in [1, 4]$ 时恒成立，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(- 1, 4)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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20、由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周率 $π$ 与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{5 \sqrt{2}}{8}, F_{1}, F_{2}$ 分别为 $C$ 的左､右焦点， $C$ 上一点 $P$ 满足 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{7}{2}$ ，则 $C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{7} π$ B、 $2 \sqrt{7} π$ C、 $\sqrt{14} π$ D、 $2 \sqrt{14} π$

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