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相关试卷

1、在 $△ O A B$ 中， $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ，记 $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}$ ，则 $\vec{O D} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$

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2、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $B = 45^{\circ}, a = 3, c = \sqrt{2}$ ，则 $b =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{17}$ D、 $\sqrt{21}$

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3、已知复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 3 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 - 3 i$ B、 $- 1 + 3 i$ C、 $1 - 3 i$ D、 $1 + 3 i$

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4、已知函数 $f (x)$ 的定义域为D，S为非空数集，对 $\forall x_{1}, x_{2} \in D$ ，若 $x_{1} + x_{2} \in S$ ，均有 $f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) \in S$ ，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $P (S)$ ．

(1)、求证： $f (x) = x$ 不具有性质 $P ([0, + \infty))$ ；

(2)、若 $f (x) = e^{g (x)}$ ，且 $f (x)$ 具有性质 $P (\{1\})$ ，
①是否存在满足条件的 $g (x)$ ，使得 $g (x)$ 为周期函数，若存在，请写出一个满足条件的 $g (x)$ ，若不存在，说明理由；
②若 $g (x) = \frac{1}{a x + b}$ ， m，n为方程 $g (x) - g (x + a) = \frac{1}{x}$ 的两根，求 $\frac{m}{n}$ 的取值范围．

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5、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为直角梯形， $A D // B C$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A D = 3$ ， $B C = 1$ ， $△ P A D ≌ △ B A D$ ．

(1)、若点M在棱PC上， $P M = λ M C$ ，若 $P A //$ 平面DMB，求 $λ$ 的值；

(2)、设平面PAD与平面PBC的交线为l，证明： $l //$ 平面ABCD；

(3)、当平面PAD与平面PBC所成的二面角为 $45 °$ 时，求PC与平面ABCD所成角的正弦值．

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6、对800名学生的成绩进行统计（满分：100分），将数据分成五组，从左到右依次记为 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ ，并绘制成频率分布直方图．

(1)、根据频率分布直方图估计这800名学生成绩的众数和80%分位数（保留1位小数）；

(2)、现从中采用分层随机抽样的方法抽取20人若成绩在 $[70, 90)$ 的学生实际成绩的平均数与方差分别为78分和55.4；第四组 $[80, 90)$ 的学生实际成绩的平均数与方差分别为87分和2，求第三组 $[70, 80)$ 的学生实际成绩的平均数与方差．

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7、已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 a x + 2 (a \in R)$ ．

(1)、若关于x的不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 2, b)$ ，求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、若 $a > 0$ ，解关于x的不等式 $f (x) - x > 0$ ．

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8、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \cos 2 x + \sin 2 x$ ， $x \in R$ ．

(1)、求 $f (π)$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(3)、求使 $f (x)$ 取得最小值的 $x$ 的集合．

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9、若函数 $f (x) = x |x - a| (0 \leq x \leq 2)$ 的最大值是1，则实数a的值是．

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10、博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为 $P_{1}, P_{2}$ ，则 $P_{1} + P_{2} =$ .

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11、已知函数 $f (x) = a - \frac{2}{\log_{2} x + 1}$ ，若 $f (2) = 1$ ，则 $a =$ ．

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12、在棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为侧面 $A A_{1} D_{1} D$ 内一动点，满足 $B_{1} F / /$ 平面 $B C_{1} M$ ，则（）

A、三棱锥 $A - A_{1} B C$ 的外接球表面积为 $27 π$ B、三棱锥 $F - B C_{1} M$ 的体积是定值 C、动点 $F$ 的轨迹是一条圆弧，长度为 $\frac{9 π}{16}$ D、动点 $F$ 的轨迹是一条线段，长度为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

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13、若 $P (A B) = \frac{1}{9}$ ， $P (\bar{A}) = \frac{2}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ，则（）

A、事件A与B不互斥 B、事件A与B对立 C、事件A与B相互独立 D、事件A与B既互斥又独立

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14、设 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ．若对任意 $x \in [a, a + 2]$ ，均有 $f (x + a) \geq f^{2} (x)$ ，则（）

A、 $a \geq \frac{3}{2}$ B、 $a \geq - \frac{3}{2}$ C、 $a \leq \frac{3}{2}$ D、 $a \leq - \frac{3}{2}$

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15、已知圆O是单位圆，点P在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，过点 $A (1, 0)$ ， $B (0, 1)$ 的切线与OP于点T，S．设 $∠ A O P = x$ ，定义： $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ ，则（）

A、 $\cot x = O T$ B、 $\cot x = P S$ C、 $\cot x = O S$ D、 $\cot x = B S$

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16、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (a + 2) x + 1, x \geq 1, \\ \frac{1}{2} a x^{2} - a x + 1, x < 1 \end{array}$ 是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \frac{4}{3}, 0)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $[- \frac{4}{3}, 0)$ D、 $[- 2, 0)$

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17、已知a，b是两条直线， $α$ ， $β$ 是两个平面，则“ $a ⊥ b$ ”的一个充分条件是（）

A、 $a ⊥ α$ ， $b // β$ ， $α ⊥ β$ B、 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ， $α // β$ C、 $a \subset α$ ， $b ⊥ β$ ， $α // β$ D、 $a \subset α$ ， $b // β$ ， $α$ 与 $β$ 相交

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18、在 $△ A B C$ 中， $A D = \frac{2}{3} A B$ ，点 $E$ 平分线段 $C D$ ．设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$

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19、在复平面内，复数z对应的点的坐标为 $(1, - 2)$ ，则 $|z + 1| =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{10}$ C、3 D、 $\sqrt{5}$

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20、已知集合 $A = \{x |(x + 1) (x - 3) \leq 0\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $[- 1, 1)$ D、 $\{0, 1\}$

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