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相关试卷

1、已知抛物线 $τ : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l_{1}$ 交抛物线 $τ$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，过点 $F$ 的直线 $l_{2}$ 交抛物线 $τ$ 于 $C$ 、 $D$ 两点，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ .

(1)、求证： $\frac{1}{|A B|} + \frac{1}{|C D|}$ 为定值，并求出该定值；

(2)、如图，点 $A$ 、 $C$ 在 $x$ 轴的同侧， $x_{A} > x_{C}$ ，直线 $A C$ 与直线 $B D$ 的交点为 $E$ ，记 $△ E F C$ ， $△ A C F$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a ln x (a \in R)$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与 $x + 3 y = 0$ 垂直，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a = 4$ ， $f (x)$ 在区间 $[k - 1, k + 1]$ 上不单调，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $a = - 2$ ，对任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, 2]$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，不等式 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq m |\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{2}}|$ 成立，求 $m$ 的最小值.

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3、在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = C D = B D = 2$ ， $A B ⊥ B D$ ，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 翻折至 $△ B P D$ ，其中 $P$ 为动点.

(1)、若 $A P = A D$ ，证明： $A B ⊥$ 平面 $B P D$ ；

(2)、求直线 $A P$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值的最大值.

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ， $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 且满足 $n S_{n + 1} - (n + 1) S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ .

(1)、证明：数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n} ^{2}}{2^{n - 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $R_{n}$ .

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5、已知 $\vec{a}$ 是平面内的任意一个向量，向量 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 满足 $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ ，且 $|\vec{b}| = 4$ ， $|\vec{c}| = 4$ ，则 $\sqrt{2} |\vec{a} - \vec{b}| + |\vec{a} - \vec{c}| + |\vec{a} + \vec{c}|$ 的最小值为.

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6、 ${(1 + 2 x - 3 y)}^{5}$ 的展开式中含 $x^{3} y$ 的项的系数为；

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7、已知角 $α$ 终边上一点 $P (2, 1)$ ，则 $\frac{sin 2 α}{1 + cos 2 α} =$ ；

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8、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过其右焦点 $F_{2} (5, 0)$ 的直线 $l$ 与它的右支交于 $P$ 、 $Q$ 两点， $P F_{1}$ 与 $y$ 轴相交于点 $A$ ， $△ P A F_{2}$ 的内切圆与边 $A F_{2}$ 相切于点 $B$ ，设 $|A B| = t$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $t = 4$ ，则 $\begin{matrix} | | P F_{1} \end{matrix} | - \begin{matrix} | P F_{2} \end{matrix} | | = 8$ ； B、记 $∠ F_{1} P F_{2} = θ$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积 $S = b^{2} tan \frac{θ}{2}$ ； C、若 $t = 3$ ，过点 $(2, 0)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与 $E$ 有2个交点，则 $k \in (- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, \frac{4 \sqrt{5}}{5})$ ； D、若 $t = 3$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆与 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的内切圆的面积之和的最小值为 $8 π$ .

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9、已知 $f (x) = {(x + 1)}^{3} + a x + a$ ， $a \in R$ ，则下列说法中正确的是（）

A、当 $a = - 3$ 时，函数 $f (x)$ 的极大值点为1； B、当 $a = - 3$ 时，过点 $(- 1, 0)$ 可作一条直线与曲线 $y = f (x)$ 相切； C、对 $\forall a \in R$ ，点 $(- 1, f (- 1))$ 是 $y = f (x)$ 的对称中心； D、若直线 $y = k x + k + 2 a + 2$ 与 $f (x)$ 有三个交点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - 3$ .

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10、下列结论正确的是（）

A、已知数据53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，则这组数据的下四分位数为53； B、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n, p)$ ，若 $E (X) = 40$ ， $D (X) = 30$ ，则 $p = \frac{3}{4}$ ； C、若3名男同学和2名女同学排成一排合影留念，要求其中的2名女同学相邻，则有48种不同的排法； D、一个样本（数据不全为5）的平均数为5，若在样本中添加一个数据：5，则该样本的平均数不变，方差变小.

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11、已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{1}$ 向圆 $C : {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = b^{2}$ 引切线交椭圆于点 $P$ （在 $x$ 轴上方），若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{1}{2} b^{2}$ ，则椭圆的离心率 $e =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12、在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为 $0.8$ 和 $0.2$ ；发送1时，接收为0和1的概率分别为 $0.1$ 和 $0.9$ .若接收信号为1的概率为 $0.76$ ，则发送信号为1的概率为（）

A、0.2 B、0.5 C、0.8 D、0.9

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13、已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线m，n满足 $m ⊥ α, n \subset β$ ，则 $m // n$ 是 $α ⊥ β$ 的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知 $△ A B C$ 的面积为 $6 \sqrt{3}$ ， $A = 60^{\circ}$ ， $A B = 3$ ， $B$ 的内角平分线交边 $A C$ 于点 $D$ ，则 $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ C B D}}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{7}{3}$

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15、设 $a = {log}_{\sqrt{2}} cos \frac{1}{2}$ ， $b = cos \frac{1}{2}$ ， $c = 2 sin \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $b > a > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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16、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ， $\vec{a} = (1, 0)$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{3}$ ，若 $\vec{a} ⊥ (λ \vec{a} + \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ （）

A、2 B、1 C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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17、若复数 $z$ 满足 $4 z = {(1 + i)}^{4}$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $2$

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18、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 3 x > 0\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{5\}$ B、 $\{4, 5\}$ C、 $\{- 1, 4, 5\}$ D、 $\{- 1, 0, 4, 5\}$

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19、在 $△ A B C$ 内一点 $P$ 满足 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = α$ ，则称 $P$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡点， $α$ 为布洛卡角．小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如 $∠ A P C = π - ∠ B A C = ∠ A B C + ∠ A C B$ ，若下列问题中的点 $P$ 为 $△ A B C$ 的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：

(1)、当 $A B = A C = 2$ ，且 $∠ B A C = \frac{2}{3} π$ 时，求 $\tan α$ ；

(2)、角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $∠ A B P = ∠ P B C = α$ ，求证： $b^{2} = a c$ ；

(3)、在（2）的条件下，若 $△ A B C$ 的周长为4，试把 $\vec{B A} \cdot \vec{B C}$ 表示为 $b$ 的函数 $f (b)$ ，并求 $f (b)$ 的值域．

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20、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $D$ 是 $A B$ 的中点，底面 $△ A B C$ 的边长为2， $B B_{1} = \sqrt{3}$ ．

(1)、求证： $B C_{1} //$ 平面 $C A_{1} D$ ；

(2)、求三棱锥 $B_{1} - A_{1} D C$ 的体积；

(3)、求直线 $A B$ 与平面 $A_{1} D C$ 所成角的正弦值．

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