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相关试卷

1、下列结论正确的有（）

A、若 $y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - x + 1$ ，则 $y^{'} = 6 x^{2} + 6 x - 1$ B、若 $y = \cos \frac{π}{3}$ ，则 $y^{'} = - \sin \frac{π}{3}$ C、若 $y = \ln (2 x + 1)$ ，则 $y^{'} = \frac{2}{2 x + 1}$ D、若 $y = \frac{x}{e^{x}}$ ，则 $y^{'} = \frac{1 - x}{e^{x}}$

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2、易经是中国传统文化中的精髓，如图所示的是易经八卦(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦)，每一卦由三根线组成(“——”表示一根阳线，“— —”表示一根阴线).现从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中至少有两根阳线的概率为（）

A、 $\frac{23}{28}$ B、 $\frac{25}{28}$ C、 $\frac{13}{14}$ D、 $\frac{27}{28}$

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 1$ ，若 $a_{8} = - 10, a_{m} = 0$ ，则 $m =$ （）

A、28 B、13 C、18 D、2

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4、已知向量 $\vec{a} = (2, - 2 \sqrt{3}), |\vec{b}| = 2$ ，与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ．

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、若 $|m \vec{a} - 3 \vec{b}| = 2 \sqrt{13}$ ，求实数 $m$ 的值．

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5、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是单位向量，满足 $\vec{b} ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5π}{6}$

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6、若斜率为1的直线 $l$ 与曲线 $y = ln (x + a)$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 都相切，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、2 D、0或2

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7、AI的快速发展在某些方面引发了人们对自己所在行业前景的焦虑，某心理辅导机构为了了解人们对于未来行业前景的焦虑是否与性别有关，对某社区居民进行了一次抽样调查，分别抽取男性和女性各50人作为样本，得到如下数据．

焦虑
不焦虑
合计
男性

10

女性
20

合计

(1)、根据已知条件，填写上面 $2 \times 2$ 列联表，并根据小概率值为 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关？

(2)、现从该样本焦虑的居民中，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取3人进行心理辅导，设抽取的3人中男性的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ 为样本容量．
$α$
$0.050$
$0.010$
$0.001$
$X_{α}$
$3.841$
$6.635$
$10.828$

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8、已知 $a \in R$ ，若 $z = a - 1 + (a + 1) i$ 为纯虚数，则 $|z + 2| =$ .

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9、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a < b < c$ 且 $tan A, tan B, tan C$ 均为整数.

(1)、求 $tan A, tan B, tan C$ 的值；

(2)、设 $A C$ 的中点为 $D$ ，求 $∠ C D B$ 的余弦值.

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10、“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
学历
使用情况
合计
经常使用
不经常使用
本科及以上
65
35
100
本科以下
50
50
100
合计
115
85
200

(1)、依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？

(2)、某公司组织“AI模型”知识应用竞赛，将参与活动的员工分成了 $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ 三组进行，其规则：竞赛发起权在哪一组，该组都可向另外两组发起竞赛，则下一次竞赛发起权移交给被挑战的那组.首先由 $X$ 组先发起竞赛， $X$ 组挑战 $Y$ 组、 $Z$ 组的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，若 $X$ 组挑战 $Y$ 组，则下次竞赛发起权在 $Y$ 组，若 $X$ 组挑战 $Z$ 组，则下次竞赛发起权在 $Z$ 组；若竞赛发起权在 $Y$ 组，则挑战 $X$ 组、 $Z$ 组的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{1}{4}$ ；若竞赛发起权在 $Z$ 组，则挑战 $X$ 组、 $Y$ 组的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{1}{4}$ .
①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在 $Y$ 组的次数 $M$ 的分布列与数学期望；
②定义：已知数列 $\{a_{n}\}$ ，若对于任意给定的正数 $ε$ （不论它多么小），总存在正整数 $N_{0}$ ，使得当 $n > N_{0}$ 时， $|a_{n} - A| < ε$ （ $A$ 是一个确定的实数），则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“聚点数列”， $A$ 称为数列 $\{a_{n}\}$ 的聚点.经过 $n$ 次竞赛后，竞赛发起权在 $X$ 组的概率为 $a_{n}$ ，证明数列 $\{a_{n}\}$ 为“聚点数列”，并求出聚点 $A$ 的值.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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11、已知抛物线 $τ : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l_{1}$ 交抛物线 $τ$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，过点 $F$ 的直线 $l_{2}$ 交抛物线 $τ$ 于 $C$ 、 $D$ 两点，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ .

(1)、求证： $\frac{1}{|A B|} + \frac{1}{|C D|}$ 为定值，并求出该定值；

(2)、如图，点 $A$ 、 $C$ 在 $x$ 轴的同侧， $x_{A} > x_{C}$ ，直线 $A C$ 与直线 $B D$ 的交点为 $E$ ，记 $△ E F C$ ， $△ A C F$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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12、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a ln x (a \in R)$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与 $x + 3 y = 0$ 垂直，求实数 $a$ 的值；

(2)、当 $a = 4$ ， $f (x)$ 在区间 $[k - 1, k + 1]$ 上不单调，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $a = - 2$ ，对任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, 2]$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，不等式 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq m |\frac{1}{x_{1}} - \frac{1}{x_{2}}|$ 成立，求 $m$ 的最小值.

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13、在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = C D = B D = 2$ ， $A B ⊥ B D$ ，将 $△ B C D$ 沿 $B D$ 翻折至 $△ B P D$ ，其中 $P$ 为动点.

(1)、若 $A P = A D$ ，证明： $A B ⊥$ 平面 $B P D$ ；

(2)、求直线 $A P$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值的最大值.

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ， $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 且满足 $n S_{n + 1} - (n + 1) S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ .

(1)、证明：数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n} ^{2}}{2^{n - 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $R_{n}$ .

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15、已知 $\vec{a}$ 是平面内的任意一个向量，向量 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 满足 $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ ，且 $|\vec{b}| = 4$ ， $|\vec{c}| = 4$ ，则 $\sqrt{2} |\vec{a} - \vec{b}| + |\vec{a} - \vec{c}| + |\vec{a} + \vec{c}|$ 的最小值为.

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16、 ${(1 + 2 x - 3 y)}^{5}$ 的展开式中含 $x^{3} y$ 的项的系数为；

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17、已知角 $α$ 终边上一点 $P (2, 1)$ ，则 $\frac{sin 2 α}{1 + cos 2 α} =$ ；

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18、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过其右焦点 $F_{2} (5, 0)$ 的直线 $l$ 与它的右支交于 $P$ 、 $Q$ 两点， $P F_{1}$ 与 $y$ 轴相交于点 $A$ ， $△ P A F_{2}$ 的内切圆与边 $A F_{2}$ 相切于点 $B$ ，设 $|A B| = t$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $t = 4$ ，则 $\begin{matrix} | | P F_{1} \end{matrix} | - \begin{matrix} | P F_{2} \end{matrix} | | = 8$ ； B、记 $∠ F_{1} P F_{2} = θ$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积 $S = b^{2} tan \frac{θ}{2}$ ； C、若 $t = 3$ ，过点 $(2, 0)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与 $E$ 有2个交点，则 $k \in (- \frac{4 \sqrt{5}}{5}, \frac{4 \sqrt{5}}{5})$ ； D、若 $t = 3$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆与 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的内切圆的面积之和的最小值为 $8 π$ .

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19、已知 $f (x) = {(x + 1)}^{3} + a x + a$ ， $a \in R$ ，则下列说法中正确的是（）

A、当 $a = - 3$ 时，函数 $f (x)$ 的极大值点为1； B、当 $a = - 3$ 时，过点 $(- 1, 0)$ 可作一条直线与曲线 $y = f (x)$ 相切； C、对 $\forall a \in R$ ，点 $(- 1, f (- 1))$ 是 $y = f (x)$ 的对称中心； D、若直线 $y = k x + k + 2 a + 2$ 与 $f (x)$ 有三个交点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - 3$ .

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20、下列结论正确的是（）

A、已知数据53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，则这组数据的下四分位数为53； B、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n, p)$ ，若 $E (X) = 40$ ， $D (X) = 30$ ，则 $p = \frac{3}{4}$ ； C、若3名男同学和2名女同学排成一排合影留念，要求其中的2名女同学相邻，则有48种不同的排法； D、一个样本（数据不全为5）的平均数为5，若在样本中添加一个数据：5，则该样本的平均数不变，方差变小.

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学历	使用情况		合计
学历	经常使用	不经常使用	合计
本科及以上	65	35	100
本科以下	50	50	100
合计	115	85	200

$α$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	焦虑	不焦虑	合计
男性		10
女性	20
合计

$α$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$X_{α}$	$3.841$	$6.635$	$10.828$