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相关试卷

1、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，对 $\forall x$ 、 $y \in R$ 都有 $f (x + y) - f (x - y) = f (x + 2) f (y + 2)$ ，且满足 $f (0) \neq 0$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并证明之；

(2)、证明： $f (x + 8) = f (x)$ ；

(3)、求 $f^{2} (1) + f^{2} (2) + \dots + f^{2} (2025)$ 的值.

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2、一个盒子装有10张卡牌，卡牌背面分别写着10个函数： $y_{1} = x^{2} + \frac{1}{2}$ ， $y_{2} = x + \frac{2}{x}$ ， $y_{3} = sin 2 x$ ， $y_{4} = cos \frac{1}{2} x$ ， $y_{5} = tan 2 x$ ， $y_{6} = \frac{1}{1 + 2^{x}}$ ， $y_{7} = {log}_{2} x$ ， $y_{8} = 2 x + \frac{1}{2}$ ， $y_{9} = - \frac{1}{x}$ ， $y_{10} = - \frac{1}{2}$ .

(1)、现从盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一张记有奇函数的卡牌则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数 $X$ 的分布列；

(2)、现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；

(3)、甲乙两人玩游戏，规则如下：甲先抽1张，接着乙和甲轮流每次抽两张，抽完为卡（最后一次乙只能抽1张）.过程中谁先抽到常数函数卡牌谁就赢（同时游戏结束）.问：这个游戏规则对乙而言公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一款对甲乙均公平的比赛规则.

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3、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x - 2 \sqrt{3} \cos^{2} x + \sqrt{3}$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和对称中心；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、当 $x \in [\frac{π}{2} ， π]$ 时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值

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4、（1）已知 $cos θ = - \frac{3}{5}, θ \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $sin (θ + \frac{π}{3})$ 的值；
（2）已知 $tan α = 3$ ，求 $tan (α + \frac{π}{4})$ 的值；
（3）已知 $sin (β + \frac{π}{6}) = \frac{5}{13}, β$ 是第二象限角，求 $\cos β$ 的值.

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5、（1）将6个相同的小球放入4个编号为 $1, 2, 3, 4$ 的盒子，求恰有一个空盒子的放法的种数.（用数值作答）
（2）用 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ 这六个数字能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？（用数值作答）
（3）甲乙丙等7人站成一排，要求甲乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？（用数值作答）

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6、若不等式 $x + 2 \sqrt{x \cdot 2 y} \leq a (x + y)$ 对一切正实数 $x, y$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值为．

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7、设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3, 5)$ ，若 $P (X < 2 a - 1) = P (X > a + 2)$ ，则实数 $a =$ .

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8、计算： ${(\frac{8}{27})}^{- \frac{2}{3}} + {log}_{5} 3 - {log}_{5} 15 + cos 120^{\circ} =$ .

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9、设函数 $f (x) = x |x| + b x + c$ ，下列命题中正确的有（）

A、 $c = 0$ 时， $y = f (x)$ 是奇函数 B、 $b = 0, c > 0$ 时，方程 $f (x) = 0$ 只有一个实根 C、 $y = f (x)$ 的图象关于 $(0, c)$ 对称 D、方程 $f (x) = 0$ 至多有两个实根

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10、下列说法正确的是（）

A、不等式 $\frac{x + 2}{2 x + 1} > 1$ 的解集 ${x | x < - \frac{1}{2}$ 或 $x > 1}$ B、一扇形的圆心角 $α = \frac{π}{3}$ ，半径 $R = 10 cm$ ，则该扇形的周长为 $\frac{10 π}{3} + 20 cm$ C、命题 $p : \forall x \in [- 1, 3]$ ， $x^{2} - 3 x \leq 0$ ，则 $\neg p : \exists x_{0} \in [- 1, 3]$ ， $x_{0}^{2} - 3 x_{0} > 0$ D、已知幂函数 $y = x^{α}$ 的图象经过点 $(2, 8)$ ，那么 $α = 3$

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11、若函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的单调函数，且对任意实数 $x$ ，都有 $f (f (x) + \frac{2}{2^{x} + 1}) = \frac{1}{3}$ ，则 $f (\log_{2} 3) =$ （）

A、1 B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、0

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12、某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为

A、 $\frac{3}{13}$ B、 $\frac{4}{13}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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13、函数 $f (x) ＝ A \sin (ω x ＋ φ)$ （其中 $A > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ 的图象如图所示，为了得到 $g (x) ＝ \sin ω x$ 的图象，可以将 $f (x)$ 的图象

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度

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14、在 ${(x + \frac{3}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 $64$ ，则 $x^{3}$ 的系数为（）

A、15 B、45 C、135 D、405

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15、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 4}{x}$ ，则该函数在 $(1, 3]$ 上的值域是（　　）

A、 $[4, 5)$ B、 $(4, 5)$ C、 $[\frac{13}{3}, 5)$ D、 $[\frac{13}{3}, 5]$

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16、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， M是 $B B_{1}$ 的中点，N是BC的中点，过点N作与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 平行的直线PN，交 $A_{1} B_{1}$ 于点P．

(1)、证明： $C_{1} M ⊥$ 平面AMN；

(2)、求 $C_{1} M$ 与平面PMN所成角的正弦值；

(3)、求点P到平面AMN的距离．

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17、2024年10月30日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为 $\frac{4}{5}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$ ，且各题是否答对互不影响．

(1)、若至少连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率；

(2)、记张某初赛结束时已答题的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望．

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18、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 c - b = 2 a \cos B$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，求 $B D$ 长度的最小值．

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19、为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）

A、估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 B、估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 C、若用分层抽样的方法在该地农户家庭年收入在 $[2.5, 3.5]$ ， $[6.5, 7.5]$ ， $[12.5, 13.5]$ 三组中共抽取48个家庭进行初步访谈，则年收入在 $[6.5, 7.5]$ 的家庭应抽24个 D、从抽样的12组中的每组中抽出一个数据，得到 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot x_{12}$ 共12个家庭的具体收入数据，若数据a与这12个家庭的收入数据的差的平方和最小，则数据a必为这12个家庭收入数据的平均数

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20、函数 $f (x) = (x - \frac{4}{x}) cos \frac{π}{2} x$ 的部分图象大致为（）．

A、 B、 C、 D、

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