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相关试卷

1、设复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，且满足 $z - \bar{z} = \frac{1 + i}{1 - i}$ ， $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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2、在概率中，等效转换是一种很重要的思想方法.例如，甲乙两人比赛下棋，假设每局比赛甲赢的概率为 $p$ ，输的概率为 $1 - p$ ，且每局比赛结果相互独立，那么甲乙进行“3局2胜”制游戏(累计先胜2局者获得最终胜利)，甲获得最终胜利这一事件，可等效为：甲乙进行3局比赛且甲至少赢2局.设3局比赛中甲赢的局数为 $ξ$ ，那么 $ξ$ 服从二项分布，从而可以利用二项分布的分布列求出甲最终获胜的概率.

(1)、若 $p = \frac{2}{3}$ ，求“5局3胜”制游戏中甲获得最终胜利的概率；

(2)、记“ $2 n - 1$ 局 $n$ 胜”( $n \in ℕ^{*}$ )制游戏中甲获得最终胜利的概率为 $p_{1}$ ， “ $2 n + 1$ 局 $n + 1$ 胜”制游戏中，甲第一局输的条件下，甲获得最终胜利的概率为 $p_{2}$ ，证明： $p_{1} - p_{2} = C_{2 n - 1}^{n} p^{n} {(1 - p)}^{n}$ ；

(3)、教室里有一盒白粉笔和一盒黄粉笔，其中白粉笔有 $n + 1$ 支，黄粉笔有 $n - 1$ 支( $n \in ℕ^{*}$ 且 $n \geq 2$ )，老师上课时每次都等可能地随机选择一盒粉笔，并拿出一支使用，不放回，记白色粉笔先被用完的概率为 $a_{n}$ ，证明： $a_{n} > \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2 n}}$ .

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3、已知 $A, B$ 两点的坐标分别是 $(- 1, 0)$ ， $(1, 0)$ ，直线 $A P, B P$ 相交于点 $P$ ，且它们的斜率之积是 $2$ ，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .两个不同点 $M, N$ 在 $C$ 上运动，满足直线 $B N$ 与直线 $A M$ 的斜率之比是 $- 3$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、直线 $M N$ 是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由；

(3)、证明：三角形 $B M N$ 是钝角三角形.

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4、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，导函数为 $f^{'} (x)$ ，满足 $f^{'} (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ ， $f (0) = 0$ .

(1)、讨论函数 $y = f (x) - a x$ ( $a \in R$ )在 $(0, 1)$ 上的单调性，并证明： $\frac{1}{2} < f (1) < 1$ ；

(2)、求函数 $y = x f (x) - 1$ 的图象与函数 $y = \ln x$ 的图象的交点个数.

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5、如图，矩形 $A B C D$ 和菱形 $A B E F$ 所在的平面相互垂直， $∠ A B E = 60^{\circ}$ ， $G$ 为 $B E$ 的中点.

(1)、求证： $A G ⊥$ 平面 $A D F$ ；

(2)、求 $A B = 2$ ， $B C = 1$ ，求直线 $C G$ 与面 $C D E$ 所成角的正弦值.

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6、已知正四面体 $A B C D$ 的顶点均在一个底面半径为1的圆柱侧面上(圆柱的高足够大)，且点 $A, B$ 到圆柱下底面的距离相等，则该四面体的边长的取值集合是.

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7、随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，若函数 $f (x) = P (x \leq ξ \leq x + 2)$ 为偶函数，则 $μ =$ .

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8、现将一个7、两个3、三个5排成一排，不同的排列方法有种.

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9、统计是研究数据的学问，一组数据的特征数能反映数据的取值规律，如平均数、众数、中位数能刻画数据的集中程度，极差、标准差、方差能刻画数据的离散程度. 已知10个数 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的平均数为5，根据下列选项的结果，能判断这组数据的中位数不超过7的是（）

A、标准差为0 B、众数为3 C、极差为5 D、方差为5

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10、已知函数 $f (x) = (1 - \sin x) (1 + \cos x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 关于 $(0, 2)$ 中心对称 B、 $f (x)$ 关于直线 $x = \frac{3 π}{4}$ 对称 C、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ D、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{3}{2} + \sqrt{2}$

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11、已知复数 $z = - 1 - i$ ， $i$ 为虚数单位，其共轭复数为 $\bar{z}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|z| = 2$ B、 $z$ 的虚部为 $- 1$ C、 $z$ 对应的点位于复平面的第三象限 D、 $z - \bar{z} = - 2 i$

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12、若曲线 $y = 2 \ln x + a$ ( $a \in ℝ$ ) 与圆 $x^{2} + (y - 1)^{2} = \frac{5}{4}$ 有公共点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，且在点 $P$ 处的切线相同，则 $a =$ （）

A、 $1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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13、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线的右支上，且 $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，则双曲线的离心率 $e$ 的最大值为（）

A、 $3$ B、 $2$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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14、若随机事件 $A, B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{2}$ ， $P (A | B) = \frac{1}{6}$ ，则 $P (A + B) =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{12}$

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15、函数 $f (x) = (x^{2} - x - 1) e^{x}$ 的极小值点是（）

A、 $x = - 2$ B、 $(- 2, 5 e^{- 2})$ C、 $x = 1$ D、 $(1, - e)$

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = k n^{2} + 2 n$ ， $a_{2} = 5$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $1$ D、 $- 1$

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17、“ $x \neq 1$ ”是“ $x + \frac{1}{x} > 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、已知抛物线 $y = 2 x^{2}$ ，则抛物线的焦点到准线的距离为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $1$ D、 $2$

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19、已知函数 $f (x) = (\ln x - m x) (x + \frac{1}{x} - m - 1)$ ，若 $f (x) \leq 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则实数m的取值范围为（）

A、 $(0, \frac{1}{e}]$ B、 $[\frac{1}{e^{2}}, 1]$ C、 $[1, e]$ D、 $[\frac{1}{e}, 1]$

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20、若定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递减，且 $f (2) = 0$ ，则满足 $(m - 1) f (m - 2) \leq 0$ 的 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 4]$ B、 $(- \infty, 0] \cup [1, 4]$ C、 $[- 1, 0] \cup [2, 5]$ D、 $[- 1, 5]$

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