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相关试卷

1、在 ${(1 - 2 x)}^{2 n} (n \in N^{*})$ 的展开式中，下列说法正确的是（）

A、展开式共 $2 n + 2$ 项 B、各项系数的和为1 C、 $x^{2 n - 2}$ 项的系数为 $(2 n^{2} - 2) 4^{n - 1}$ D、二项式系数最大的项为第 $n + 1$ 项

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2、一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为 $x_{1}, x_{2}$ ，事件A： $x_{1} = 3$ ，事件B： $x_{2} = 6$ ，事件C： $x_{1} + x_{2} = 9$ ，则（）

A、A，B互斥 B、 $A \cup B = C$ C、 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ D、A，B，C两两独立

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3、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若A，B，C是直线 $y = m (m > 0)$ 与函数 $f (x)$ 图象的从左至右相邻的三个交点，且 $|A B| = \frac{1}{3} |B C|$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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4、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M, N$ 为 $C$ 上的不同两点，若线段 $M N$ 的中点到 $y$ 轴的距离为2，则 $|M F| \cdot |N F|$ 的最大值为（）

A、3 B、6 C、9 D、36

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5、已知奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且满足 $g (x) = f (x) + e^{- x}$ ，则 ${[f (x)]}^{2} + {[g (x)]}^{2} =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $f (2 x)$ D、 $g (2 x)$

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6、设 $\tan α, \tan β$ 是方程 $x^{2} + p x + p - 1 = 0 (p > 1)$ 的两根，则 $\frac{\sin (α + β)}{\sin α \sin β} =$ （）

A、p B、 $- p$ C、 $\frac{p}{p - 1}$ D、 $\frac{p}{1 - p}$

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7、某校新建一个报告厅，要求容纳840个座位，报告厅共有21排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，则第1排应安排的座位数为（）

A、18 B、19 C、20 D、21

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8、已知 $(1 + i) z = 1 + i^{3}$ ，则 $z - \bar{z} =$ （）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、0 D、 $- 2$

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9、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 不共线， $λ \vec{a} + \vec{b}$ 与 $3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、6 D、 $- \frac{2}{3}$

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10、已知 $A$ 、 $B$ 是单位圆上相异的两个定点（ $O$ 为此单位圆圆心），点 $C$ 是单位圆上的动点且 $\vec{O C} = cos α \vec{O A} + sin α \vec{O B} (α \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}))$ .直线 $A C$ 交直线 $O B$ 于点 $M$ .

(1)、若 $α = \frac{2 π}{3}$ ，求 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的值；

(2)、设 $\vec{O M} = t \vec{O B}$ ， $\vec{A M} = λ \vec{A C}$
①用 $α$ 表示 $t$ ；
②求 $\frac{S_{△ C O M}}{S_{△ B M A}}$ 的取值范围.

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11、我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”.现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ， $E$ 为线段 $P B$ 的中点， $F$ 为线段 $B C$ 上的动点.

(1)、求证：直线 $A E ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求二面角 $P - D C - B$ 的大小；

(3)、若直线 $P C / /$ 平面 $A E F$ ，求直线 $A B$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值.

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12、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = C B = C C_{1} = 2$ ， $∠ A C B = 120^{\circ}$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $A C_{1}$ ∥平面 $B_{1} C E$ ；

(2)、求三棱锥 $B - B_{1} C E$ 的体积.

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13、如图所示，已知圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的轴截面 $A B C D$ 是边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方形，球 $O$ 在圆柱 $O_{1} O_{2}$ 内，且与圆柱 $O_{1} O_{2}$ 的上、下底面均相切．则球 $O$ 的表面积为；若 $P$ 为圆柱下底面圆弧 $\overset{⌢}{C D}$ 的中点，则平面 $P A B$ 截球 $O$ 所得截面的周长为．

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14、已知复数 $z$ 满足 $1 \leq |z| \leq 3$ ，则在复平面内复数 $z$ 对应的点 $Z$ 的集合构成区域的面积为.

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15、《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边 $a$ ， $b$ ， $c$ 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，现有 $△ A B C$ 满足 $sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : \sqrt{7}$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C} = 6 \sqrt{3}$ ，请运用上述公式判断下列命题正确的是（）

A、 $C = \frac{π}{3}$ B、 $△ A B C$ 周长为 $10 + 2 \sqrt{7}$ C、 $△ A B C$ 外接圆直径为 $\frac{4 \sqrt{21}}{3}$ D、 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上的中线 $C D$ 的长为 $3 \sqrt{2}$

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16、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中 $A = 120^{°}$ ， $b = 1$ ，且 $△ A B C$ 面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆的半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{39}}{3}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\frac{2 \sqrt{39}}{3}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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17、圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的侧面积为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $4 π$ D、 $5 π$

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18、如图所示， $▱ O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形 $O A B C$ 的直观图．其中 $O^{'} A^{'} = 5$ ， $O^{'} C^{'} = 2$ ，则四边形 $O A B C$ 的面积是（）

A、 $20 \sqrt{2}$ B、20 C、 $10 \sqrt{2}$ D、10

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19、设 $\vec{e_{2}}$ 、 $\vec{e_{2}}$ 是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}}$ 和 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 与 $3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ C、 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 与 $- 2 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$ D、 $3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 与 $4 \vec{e_{2}} - \vec{e_{1}}$

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20、已知函数 $f (x) = |x - \frac{2}{x} + 1| + m$ .

(1)、若函数 $y = f (x)$ 有4个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ （ $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ），求 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4}$ 与 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$ ；

(2)、是否存在非零实数 $m$ 和闭区间 $[a, b] (0 < a < b)$ ，使得函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的值域为 $[\frac{m}{a}, \frac{m}{b}]$ ？若存在，求出 $m$ 的取值范围.若不存在，请说明理由.

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