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相关试卷

1、嘟嘟玩一个游戏：一开始她准备了 $2$ 个罐子 $A$ ， $B$ ，每个罐子里都放着红、黄、蓝三种颜色的球各一个.然后她在游戏的每一轮同时从两个罐子里随机地取出一个球交换位置，并观察经过该轮交换后两个罐子里球的颜色.

(1)、求经过 $2$ 轮交换后 $A$ 罐子里红球有 $2$ 个的概率；

(2)、经过 $n$ 轮交换后 $(n \in N^{*})$ ：
①求两个罐子里仍然是红、黄、蓝三种颜色的球各一个的概率 $p_{n}$ ；
②请直接写出 $A$ 罐子里有 $2$ 个黄球 $1$ 个蓝球的概率 $q_{n}$ .

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2、已知 $a$ ， $b$ ， $c \in N^{*}$ ， $f (x) = {(1 + x)}^{a} + {(1 + x)}^{b} + {(1 + x)}^{c}$ .

(1)、若 $a = b = 4$ ， $c = 5$ ，求 $f (x)$ 的展开式（合并同类项之后）中系数最大的项；

(2)、若 $f (x)$ 的展开式（合并同类项之后）中 $x$ 的系数为25，那么.
①满足条件的 $f (x)$ 有多少种可能？
②求展开式中 $x^{2}$ 的系数的最大可能值与最小可能值之和.

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3、已知函数 $f (x) = \frac{a \cdot 2^{x} + 2}{2^{x} - 1}$ 是奇函数.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求解不等式 $f (x) \geq 4$ ；

(3)、当 $x \in (1, 3]$ 时， $f (t x^{2}) + f (x - 1) > 0$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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4、2021年6月2日巴蜀中学成功地举办了一年一度的大型学生社团文化节，吸引了众多学生．巴蜀中学目前共有社团近40个，由高一和高二学生组成，参加社团的学生共有四百人左右．已知巴蜀中学高一和高二的所有学生中男生与女生人数比为6：4，为了解学生参加社团活动的情况，按性别采用分层抽样的方法抽取部分学生，统计得到如下等高累积型条形图：
（1）求巴蜀中学参加社团的学生中，任选1人是男生的概率；
（2）若抽取了100名学生，完成下列 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为巴蜀中学高一和高二学生的性别与参加学生社团有关联？请说明理由．

参加社团
未参加社团
合计
男生

女生

合计

附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$
临界值表：
$α$
0.1
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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5、已知事件 $A$ ， $B$ 满足 $0 < P (A) < 1$ ， $0 < P (B) < 1$ ， $P (A \bar{B}) - P (\bar{A} B) = 0.99 P (\bar{B})$ ，则 $P (B |\bar{A}) \cdot P (\bar{A} |\bar{B})$ 的取值范围是.

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6、已知函数 $f (x) = {log}_{a} (4 - a^{x})$ ， $g (x) = {log}_{a} (x - a)$ ，若 $\forall x_{1} \in [1, 2]$ ， $\exists x_{2} \in [3, 4]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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7、 ${(27)}^{\frac{2}{3}} + 5^{{log}_{5} 4} - lg 2 - \frac{ln 5}{ln 10} - \sqrt[4]{{(0! - 3)}^{4}} =$ .

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8、已知函数 $f (x)$ 定义域为 $R$ ，则下列选项中的等式不可能在 $x \in R$ 时恒成立的有（）

A、 $f (2 x - x^{2}) = |x + 1|$ B、 $f (10086^{x} + 10086^{- x}) = {log}_{2} (4^{x} + 1) - x$ C、 $f (e^{x} + 2 \cdot e^{- x}) = e^{x} + e^{2 - x}$ D、 $f (f (x)) = x^{2} - 2$

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9、已知袋子中放有大小质地完全相同的6个红球和4个黄球，则下列说法正确的有（）

A、若从袋子中有放回地依次随机摸球， $X$ 为第1个红球被摸出所需的摸球次数，则 $P (X = 3) = \frac{12}{125}$ B、若从袋子中不放回地依次随机摸出3个球， $Y$ 为摸出的球中红球的个数，则 $P (Y = 2) = \frac{1}{2}$ C、若从袋子中有放回地依次随机摸出5个球， $Z$ 为摸出红球的次数与摸出黄球的次数之差，则 $D (Z) = \frac{12}{5}$ D、若从袋子中不放回地依次随机摸球， $W$ 为第3个红球被摸出所需的摸球次数，则 $E (W) = \frac{33}{7}$

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10、下列说法正确的有（）

A、 $f (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 和 $g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$ 表示同一个函数 B、函数 $f (x + 2)$ 的定义域为 $[- 2, 2)$ ，则函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, 4)$ C、函数 $y = \frac{1}{x^{2} + 2}$ 的值域为 $(0, \frac{1}{2}]$ D、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $3 f (x) - f (- x) = x + 1$ ，则 $f (x) = \frac{x}{4} + \frac{1}{2}$

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11、四位同学坐到二排五列的10个位子中，若同一列中最多只有一位同学，同一排任意两位同学不相邻，则不同的排法数为（）

A、384 B、360 C、216 D、408

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12、从集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ 的非空子集中随机取出两个不同的集合 $A$ ， $B$ ，则在 $A \cup B = U$ 的条件下， $A \cap B$ 恰有2个元素的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{80}{241}$ D、 $\frac{60}{241}$

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13、已知 $a = {log}_{0.1} 3$ ， $b = {log}_{6} \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $a + b < 0 < a b$ B、 $a + b < a b < 0$ C、 $a b < 0 < a + b$ D、 $a b < a + b < 0$

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14、已知随机变量 $X \sim N (4, σ^{2})$ ， $P (X > 6) = m$ ， $P (2 < X < 4) = n$ ，则 $\frac{2}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、 $6 + 2 \sqrt{2}$ B、 $3 + 4 \sqrt{2}$ C、 $6 + 4 \sqrt{2}$ D、 $8 + 2 \sqrt{2}$

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15、2023年入冬以来流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数 $y$ 与第 $x (x = 1, 2, 3, 4, 5)$ 天的数据如表所示.
$x$
1
2
3
4
5
$y$
21
$10 a$
$15 a$
95
109
根据表中数据可知 $x, y$ 具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为 $\hat{y} = 20 x + 10$ ，则以下说法错误的是（）

A、该样本相关系数在 $(0, 1]$ 内 B、当 $x = 3$ 时，残差为 $- 5$ C、点 $(2, 10 a)$ 在经验回归直线上 D、第6天到该医院的流感就诊人数预测值为130

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16、已知 $a > b > 0$ ，则“ $\frac{a}{b} > \frac{a + m}{b + m}$ ”是“ $m > 0$ ”的（）

A、充要条件 B、既不充分也不必要条件 C、充分不必要条件 D、必要不充分条件

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 3^{x} - a, x < 3 \\ x^{2}, x \geq 3 \end{cases}$ ，若 $f (x)$ 存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 9, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 9)$ C、 $(- \infty, - 9]$ D、 $[- 9, + \infty)$

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18、已知集合 $A = \{- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x ||x - 1| < 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{0, 1, 2, 3\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3\}$

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19、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为 $C C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、求证：平面 $A E C / /$ 平面 $B F D_{1}$ ．

(3)、若正方体的棱长为2，求直线 $B D_{1}$ 到平面AEC的距离．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 1$ ， $A D = 2$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = 2$ ．

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求证：平面PAC $⊥$ 平面PCD；

(3)、求二面角 $P - C D - A$ 所成角的余弦值．

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	参加社团	未参加社团	合计
男生
女生
合计

$α$	0.1	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635

$x$	1	2	3	4	5
$y$	21	$10 a$	$15 a$	95	109