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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, \forall a, b \in R, {[f (a)]}^{2} - m {[f (b)]}^{2} = f (a + b) f (a - b)$ ，其中 $m$ 为给定的常数，且 $f (x)$ 不为常函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、当 $m = 1$ 时， $f (x)$ 为奇函数 C、 $m = 0$ 或1是 $f (x)$ 存在的充要条件 D、当 $m = 0$ 时， $f (x)$ 没有最值

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2、设双曲线 $E : x^{2} - y^{2} = 1$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2} . P$ 为 $E$ 上一点，且位于第一象限，直线 $P A_{1}$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，记 $△ P A_{1} A_{2}$ 的面积为 $S$ ，则（）

A、 $tan ∠ P A_{1} A_{2} \cdot tan ∠ P A_{2} A_{1} = 1$ B、 $∠ P A_{2} Q = 90^{\circ}$ C、若 $|A_{1} A_{2}| = |A_{2} P|$ ，则 $|A_{1} P| = 2 \sqrt{3}$ D、若 $∠ A_{1} P A_{2} = 30^{\circ}$ ，则 $S = \sqrt{6}$

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3、已知正四面体 $P A B C$ 的棱长为 $2 \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $A P ⊥ B C$ B、 $A P$ 与 $B C$ 的距离为 $\sqrt{6}$ C、二面角 $A - B P - C$ 的正弦值为 $\frac{1}{3}$ D、正四面体 $P - A B C$ 的体积为 $2 \sqrt{6}$

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4、设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ . $P$ 为 $C$ 上一点， $⊙ P$ 的半径为 $|P F|$ ，过 $P$ 作 $y$ 轴的垂线，交 $⊙ P$ 于 $M, N$ 两点， $M$ 在 $N$ 的左侧.记 $C$ 的离心率为 $e$ ，点 $M$ 轨迹的离心率为 $e_{1}$ ，点 $N$ 轨迹的离心率为 $e_{2}$ ，则（）

A、 $e_{1} < e_{2}$ B、 $e_{2} < e_{1}$ C、 $e_{1} < e$ D、 $e < e_{2}$

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5、若 $tan (\frac{α}{2} + \frac{π}{4}) + tan (\frac{α}{2} - \frac{π}{4}) = cos α$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\sqrt{5} - 2$ B、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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6、已知圆柱 $M M_{1}$ 与圆锥 $N N_{1}$ 的体积与侧面积均相等，若 $N N_{1}$ 的轴截面为等腰直角三角形，则 $M M_{1}$ 与 $N N_{1}$ 的底面半径之比为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$

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7、若函数 $f (x) = e^{x + 1} + e^{a - x} + {(x + b)}^{2}$ 关于直线 $x = 2$ 对称，则 $a + b =$ （）

A、1 B、3 C、5 D、7

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8、已知 $x, y > 0$ ，设命题 $p : x + y ⩽ 2$ ，命题 $q : x y ⩽ 1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、设集合 $A = \{x |\frac{1 - x}{3 - x} ⩾ 0\}, B = \{- 1, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ，则 $A \cap B$ 中所有元素之和为（）

A、3 B、8 C、9 D、12

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10、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3 | \vec{b} | = 3, \vec{b} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

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11、在复平面内， $\frac{1 + i}{1 + 2 i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、已知双曲线 $Γ : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，过点 $M (- 2, 0)$ 的直线交双曲线 $Γ$ 于 $P, Q$ 两点.

(1)、若 $Γ$ 的离心率为2，求 $b$ .

(2)、若 $b = \frac{2 \sqrt{6}}{3}, △ M A_{2} P$ 为等腰三角形，且点 $P$ 在第一象限，求点 $P$ 的坐标.

(3)、连接 $Q O$ （ $O$ 为坐标原点）并延长交 $Γ$ 于点 $R$ ，若 $\vec{A_{1} R} \cdot \vec{A_{2} P} = 1$ ，求 $b$ 的最大值.

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13、已知k、 $m \in R$ ，函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $R$ ，直线l的方程为 $y = k x + m$ ，记集合 $A_{l} = {x ∣ f (x) \geq k x + m}$ ．

(1)、若 $f (x) = 2^{x}, k^{2} + {(m - 1)}^{2} = 0$ ，求集合 $A_{l}$ ；

(2)、若 $f (x) = - x^{4} + x^{3} + b x^{2}$ ，且存在实数k、m使得集合 $A_{l}$ 中有且只有两个元素，求实数b的取值范围；

(3)、若函数 $y = f (x)$ 的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为 $R$ 的严格减函数，求证：“集合 $A_{l}$ 是单元素集合 ${t}$ ”是“直线l是曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (t, f (t))$ 处的切线”的充要条件．

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14、如图，在三棱锥P⁃ABC中，平面PAB⊥平面PAC，BC=2AB=2，∠ABC= $\frac{π}{3}$ .

(1)、证明：PB⊥AC；

(2)、若侧面PAB是等边三角形，点D满足 $\vec{P D}$ =λ $\vec{P A}$ （0<λ<1），过B，D两点作平面α，满足直线AC∥α，设平面α与PC交于点E，直线PC与平面α所成的角为 $\frac{π}{6}$ ，求λ的值.

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15、某绿色水果生态园在某种水果收获的.随机摘下该水果100个作为样本，其质量分别在 $[100, 150)$ ， $[150, 200)$ ， $[200, 250)$ ， $[250, 300)$ ， $[300, 350)$ ， $[350, 400]$ （单位：克）中，经统计，样本的频率分布直方图如图所示：

(1)、求图中a的值；

(2)、现按分层抽样的方法从质量为 $[250, 300)$ ， $[300, 350)$ 的水果中随机抽取6个，再从6个中随机抽取3个，求这3个水果中恰有1个质量在 $[300, 350)$ 内的概率；

(3)、某经销商来收购水果时，该生态园有水果约10000个要出售.
经销商提出如下两种收购方案：
方案A：所有水果以10元/千克收购；
方案B：对质量低于250克的水果以2元/个收购，不低于250克的以3元/个收购.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，请估算该生态园选择哪种方案获利更多？

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16、折纸是一项玩法多样的活动.通过折叠纸张，可以创造出各种各样的形状和模型，如动物、花卉、船只等.折纸不仅是一种艺术形式，还蕴含了丰富的数学知识.在纸片 $△ A B C$ 中， $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $a = \sqrt{5}$ .

(1)、证明： $S_{1} = \frac{5 \sin B \sin C}{2 \sin A}$ ；

(2)、若 $8 \sqrt{3} S_{1} \cdot \sin A = 10 \sqrt{3} \cos (B - C) + 5$ ，求 $\sin A$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，若 $b = \sqrt{3}$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点，现需要对纸片 $△ A B C$ 做一次折叠，使 $C$ 点与 $D$ 点重合，求折叠后纸片重叠部分的面积 $S_{2}$ .

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17、若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质.对于正整数 $n, φ (n)$ 是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数.函数 $φ (n)$ 以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如 $φ (3) = 2$ ，则 $φ (9) = 6$ .若数列 $\{\frac{φ (2^{n})}{φ (3^{n})}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ .

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18、已知 $cos β = 2 cos (2 α + β)$ ，则 $tan (α + β) tan α =$ .

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19、函数 $f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - \ln x$ 的极值点为.

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20、某校篮球社团准备招收新成员，要求通过考核才能加入，考核规则如下：报名参加该社团的学生投篮 $n$ 次，若投中次数不低于投篮次数的 $50 %$ ，则通过考核.学生甲准备参加该社团，且他的投篮命中率为0.9，每次是否投中相互独立.若 $n = 3$ ，记甲通过考核的概率为 $P_{1}$ ，若 $n = 20$ ，记甲通过考核的概率为 $P_{2}$ ，若 $n = 21$ ，记甲通过考核的概率为 $P_{3}$ ，若 $n = 19$ ，记甲通过考核的概率为 $P_{4}$ ，若 $n = 22$ ，记甲通过考核的概率为 $P_{5}$ ，则（）

A、 $P_{1} = 0.972$ B、 $P_{2} < P_{3}$ C、 $P_{2} < P_{4}$ D、 $P_{2} < P_{5}$

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