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相关试卷

1、如图，国家统计局发布了自1990年至2023年的国家城镇化率与人口总数的关系，其中横坐标为年份，纵坐标为人口总数，每一年的数据点对应一个圆，圆的半径与城镇化率成正比．根据图像估计，下列说法正确的是（）

A、自1990年至2023年，我国人口总数大致呈增长趋势 B、自1990年至2023年，我国城镇化率大致呈增长趋势 C、自1990年至2023年，我国人口增长速率呈增长趋势 D、自1990年至2023年，我国城镇化率与人口总数正相关

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2、在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 4$ ， $A B = 2$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别是 $A D$ ， $B C$ 的中点， $M$ ， $N$ 分别是线段 $A D$ ， $D C$ 上的动点，且 $| A D | \cdot | A_{1} M | = | D N |$ ，记 $A_{2} M$ 和 $A_{1} N$ 的交点为 $Q$ ，则 $Q$ 的轨迹的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$

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3、已知函数 $f (x) = tan(ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 上有定义，则 $f (\frac{π}{6})$ 的值不可能是（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、2 D、4

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4、抛掷一枚均匀的正四面体骰子，骰子静止后，认为朝下的面所包含的三条棱接触过地面，则经过3次抛掷后，存在从未接触过地面的棱的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{8}$

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5、一四棱锥底面为正方形，侧面均为边长为 $\sqrt{2}$ 的等边三角形，则该四棱锥的体积是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6、已知 $α$ 是第一象限角，若 $sin 2 α = {cos}^{2} α$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、0 C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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7、已知平行四边形 $A B C D$ 满足 $\vec{A B} = (1, 0)$ ， $\vec{A D} = (2, 1)$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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8、若复数 $z = 2 + i$ （i为虚数单位），则 $\frac{z}{\bar{z}} =$ （）

A、 $\frac{3 - 4 i}{5}$ B、 $\frac{4 - 3 i}{5}$ C、 $\frac{3 + 4 i}{5}$ D、 $\frac{4 + 3 i}{5}$

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9、若集合 $A = \{x ∣ a x^{2} + 1 = 0\}$ 是空集，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 0]$

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2^{n} (n \in N^{*})$ ， $a_{1} = 1$ ．

(1)、证明：数列 $\{\frac{a_{n}}{2^{n}}\}$ 是等差数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(3)、若 $S_{n} \leq 2 a_{n} - 4 n - λ$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立．求实数 $λ$ 的取值范围．

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11、在 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且 $a = \sqrt{41}$ ， $2 b \sin \frac{B + C}{2} = \sqrt{5} a \sin B$ ．
（1）求 $\sin A$ ；
（2）如图，M为边AC上一点，且 $M C = 2 M B$ ， $∠ A B M = \frac{π}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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12、2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照 $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ 分成6组，其频率分布直方图如图所示．

(1)、求该样本的第75百分位数；

(2)、试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；

(3)、该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在 $[40, 50), [50, 60)$ 各一人的概率．

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13、如图，有一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8.将该八面体连续抛掷三次，按顺序记录它与地面接触的面上的数字，则这三个数恰好构成等差数列的概率为.

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14、已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 的方差为6，则数据 $2 x_{1} - 3$ ， $2 x_{2} - 3$ ， $2 x_{3} - 3$ ， $2 x_{4} - 3$ ， $2 x_{5} - 3$ 的方差为；

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15、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ，且 $\frac{f (x + y)}{x + y} = \frac{f (x) f (y)}{x y}$ ，且 $f (1) = 2$ ，则（）

A、 $f (2) = 8$ B、 $f (3) + f (4) + f (5) = 168$ C、 $\frac{f (10)}{f (8)} = 5$ D、 $f (2024) = 2024 \times 2^{2024}$

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16、下列结论正确的是（）

A、 $l_{1} : x + (2 a - 1) y + 2 a - 3 = 0$ ， $l_{2} : a x + 3 y + a^{2} + 4 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $a = - 1$ 或 $a = \frac{3}{2}$ B、 $\vec{a} = (1, - 1)$ 是直线 $x + y - 3 = 0$ 的一个方向向量 C、直线 $x + y - 1 = 0$ 与直线 $2 x + 2 y + 1 = 0$ 之间的距离是 $\sqrt{2}$ D、与点 $A (- 1, 2)$ 的距离为1，且与点 $B (3, - 1)$ 的距离为4的直线共有3条

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17、在四面体 $O A B C$ 中，M点在线段 $O A$ 上，且 $O M = 2 M A$ ， G是 $△ A B C$ 的重心，已知 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{M G}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 0)$ ，且 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，则k的值为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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19、已知函数 $f (x) = a \ln x - 2 a x + \frac{x^{2}}{2} (a > 0)$ ．
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ 、 $x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，且不等式 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < λ (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，该椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且椭圆上动点 $M$ 与点 $F_{1}$ 的最大距离为3.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、如图，若直线 $l$ 与 $x$ 轴､椭圆 $C$ 顺次交于 $P, Q, R$ （点 $P$ 在椭圆左顶点的左侧），且 $∠ P F_{1} Q + ∠ P F_{1} R = π$ ，求 $△ R Q F_{1}$ 面积的最大值.

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