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相关试卷

1、如图，函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ 的部分图象，若点 $C$ 是 $A B$ 中点，则点 $B$ 的纵坐标为（）

A、 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ B、 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

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2、在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4, A A_{1} = 5$ ， $E, F, G$ 分别为侧棱 $B B_{1}, C C_{1}, D D_{1}$ 上一点，则 $A E + E F + F G + G A_{1}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{281}$ B、 $\sqrt{283}$ C、 $\sqrt{285}$ D、14

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3、已知向量 $\vec{p}, \vec{q}$ 满足： $\vec{p} = (1, - 1), |\vec{q}| = 1, (\vec{p} - \vec{q}) \cdot \vec{q} = - 2$ ，则 $\vec{q}$ 在 $\vec{p}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\sqrt{2}, - \sqrt{2})$ B、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(1, - 1)$

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4、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 $2 π$ ，则圆锥母线与底面所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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5、已知数列 $\{ln a_{n}\}$ 为等差数列，且 $a_{3} - a_{1} = 6, a_{3} a_{4} = 8 a_{2}^{2}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = 2 {log}_{2} a_{n} - 1$ ，记 $T_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{n + 1 - i}$ ，求 $T_{n}$ ．

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6、 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为a、b、c，若 $\sin C \sin (A - B) = \sin B \sin (C - A), a = 5, \cos A = \frac{25}{31}$ ，则 $△ A B C$ 的周长为．

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7、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | \frac{3 - 2 x}{x + 5} \geq 0\}$ ，集合 $B = \{x| |x| > 2\}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ ．

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8、甲、乙、丙三人做足球传球训练，规定：每次传球时，传球人将球传给另两人中的任何一人是等可能的．假设第1次由甲将球传出，第k次传球后，球回到甲处的概率为 $p_{k}$ （ $k \in N^{*}$ ），则（）

A、 $p_{2} = \frac{1}{2}$ B、 $p_{3} > p_{4}$ C、 $p_{k} + 2 p_{k + 1} = 1$ D、 $p_{15} > \frac{1}{3}$

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9、已知圆 $M : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 2$ ，直线 $l : x - 3 y + 3 = 0, P$ 是直线 $l$ 上的动点，过点 $P$ 作圆 $M$ 的切线 $P A$ ，切点为 $A$ ，则当切线长 $|P A|$ 取最小值时，下列结论正确的是（）

A、 $|P A| = 8$ B、点 $P$ 的坐标为 $(0, 1)$ C、 $P A$ 的方程可以是 $y = - x + 1$ D、 $P A$ 的方程可以是 $y = 7 x + 1$

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10、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上不恒为0的偶函数， $g (x)$ 是定义在 $R$ 上不恒为0的奇函数，则（）

A、 $f (f (x))$ 为奇函数 B、 $g (g (x))$ 为奇函数 C、 $f (g (x))$ 为偶函数 D、 $g (f (x))$ 为偶函数

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11、已知函数 $f (x) = x^{2} (x + b) e^{x}$ ，若 $x = 0$ 是 $f (x)$ 的一个极大值点，则 $b$ 的取值范围为（）

A、 $b > - 3$ B、 $b > 0$ C、 $b < - 3$ D、 $b < 0$

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是各项及公差都不为0的等差数列，若 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则“ $a_{1}, a_{2,} a_{5}$ 成等比数列”是“ $\{\frac{S_{n}}{n^{2}}\}$ 为常数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知 $\frac{sin (α + β)}{sin (α - β)} = 2, cos α sin β = \frac{1}{6}$ ，则 $sin α cos β =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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14、如图所示，一种儿童储蓄罐有6个密码格，由购买者设定密码后方可使用，其中密码的数字只能在 $0, 1, 2$ 中进行选择，且每个密码格都必须设定数字，则数字“1”出现奇数次的不同密码个数为（）

A、172 B、204 C、352 D、364

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15、已知复数 $z = \frac{1 + 2 i}{i}$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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16、通过抛掷骰子产生随机数列 $\{a_{n}\}$ ，具体产生方式为：若第 $k (k = 1, 2, 3, \dots, n)$ 次抛掷得到的点数 $i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ ，则 $a_{k} = i$ .记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，记 $S_{n}$ 除以4的余数为 $X_{n}$

(1)、若 $n = 2$ ，求 $P (S_{2} = 4)$ 和 $P (X_{2} = 0)$

(2)、甲乙丙丁四人玩游戏：在一局中，由第五个人（裁判）投一个骰子2次，若 $X_{2}$ 为0则甲在本局胜出，若 $X_{2}$ 为1则乙在本局胜出，若 $X_{2}$ 为2则丙在本局胜出，若 $X_{2}$ 为3则丁在本局胜出，比赛开始前，4名选手自由两两组合，组成A小队，B小队，组队后进行比赛.比赛采用5局3胜制，每局比赛中只要小队内有成员胜出即该小队在此局中获胜，请问：甲和哪位选手组成A小队，使A小队在比赛中有最大概率获胜，并说明原因.

(3)、若 $n = 20$ ，设 ${(x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6})}^{20} = b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2} + \dots + b_{120} x^{120}$ ，试确定该展开式中各项系数与事件 $S_{20} = j (j \in N_{+} ， j \leq 120)$ 的联系，并求 $X_{20} = 0$ 的概率.

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17、已知函数 $f (x) = a e^{2 x} + (a - 2) e^{x} - x$

(1)、令 $h (x) = f^{'} (x), h (x) \leq (e^{x} + \frac{1}{2}) \cdot x$ 对 $\forall x \in [- \frac{3}{2}, 0]$ 恒成立，求 $a$ 的最大值.

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，求 $a$ 的范围，并证明： $x_{1} + x_{2} < 2 \ln \frac{1}{a}$

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18、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2, (n \in N^{*})$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，在数列 $\{d_{n}\}$ 中是否存在3项 $d_{m}, d_{k}, d_{p}$ （其中 $m, k, p$ 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由.

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19、为研究某市居民的身体素质与户外体育锻炼时间的关系，对该市某社区100名居民平均每天的户外体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表：
平均每天户外体育锻炼的时间（分钟）
$[0, 10)$
$[10, 20)$
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60]$
总人数
10
18
22
25
20
5
规定：将平均每天户外体育锻炼时间在 $[0, 40)$ 分钟内的居民评价为“户外体育锻炼不达标”，在 $[40, 60]$ 分钟内的居民评价为“户外体育锻炼达标”．

(1)、请根据上述表格中的统计数据填写下面 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为性别与户外体育锻炼是否达标有关联？
户外体育锻炼不达标
户外体育缎练达标
合计
男
女
10
55
合计

(2)、从上述“户外体育锻炼不达标”的居民中，按性别用分层抽样的方法抽取5名居民，再从这5名居民中随机抽取3人了解他们户外体育锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男性居民的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；

(3)、将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有居民中随机抽取3人，求其中恰好有2人“户外体育锻炼达标”的概率.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
参考数据：（ $χ^{2}$ 独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值）
$α$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$χ_{α}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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20、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (a > b > 0), F_{1}, F_{2}$ 为该椭圆的左、右两个焦点， $P$ 为该椭圆上的动点，椭圆的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}, △ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆的方程.

(2)、已知A，B为该椭圆的上顶点和下顶点， $M (1, 0)$ ，在直线 $x = 2$ 上是否存在一点 $N$ ，使直线BM和直线AN的交点在该椭圆上，若存在，求出点 $N$ 的坐标，若不存在，说明理由.

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平均每天户外体育锻炼的时间（分钟）	$[0, 10)$	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60]$
总人数	10	18	22	25	20	5

	户外体育锻炼不达标	户外体育缎练达标	合计
男
女		10	55
合计

$α$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$χ_{α}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828