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相关试卷

1、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F, M$ 分别为所在棱的中点， $P$ 为下底面的中心，则下列结论中错误的是（）

A、平面 $E F C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ B、 $M P / / A C_{1}$ C、 $M P ⊥ C_{1} D$ D、 $E F / /$ 平面 $A D_{1} B_{1}$

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2、2024年惠州马拉松赛事期间，组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人．已知甲不能安排在物资分发服务点，则不同的安排方法共有（）

A、9种 B、12种 C、15种 D、18种

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3、已知 $cos (α + β) = \frac{1}{9}, cos (α - β) = - \frac{1}{3}$ ，则 $sin α sin β =$ （）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $- \frac{2}{9}$

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4、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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5、已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 2$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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6、已知集合 $A = \{x |x < - 2 或 x ＞ 3\}$ ， $B = \{x |m - 1 \leq x \leq 2 m + 3\}$ ， $m \in R$ .

(1)、若 $m = 2$ ，求 $A \cup B$ 和 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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7、在空间中，点 $O$ 为定点，设集合 $S = \{P |{|\vec{O P}|}^{2} - 2 \vec{O A} \cdot \vec{O P} \leq 1, |\vec{O A}| = 1\}$ ，则以下说法正确的是（）.
①若 $\vec{O P}$ 在 $\vec{O A}$ 上的数量投影为 $- \frac{1}{5}$ ，则线段 $O P$ 在运动过程中所形成的几何体体积为 $\frac{14}{375} π$ ；
②对于任意的 $P_{i} \in S$ 以及任意的正实数 $a_{i}$ ，设 $\vec{O Q} = \sum_{i = 1}^{4} a_{i} \vec{O P_{i}}$ ，若 $\sum_{i = 1}^{4} a_{i} = 1$ ，则 $Q \in S$ .

A、①是真命题，②是真命题 B、①是真命题，②是假命题 C、①是假命题，②是真命题 D、①是假命题，②是假命题

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8、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点D是BC的中点， $A B = A A_{1} = 4$ ．

(1)、求证： $A_{1} B //$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求证：平面 $A D C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(3)、求直线 $A_{1} B$ 到平面 $A D C_{1}$ 的距离．

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9、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $\vec{m} = (cos B, cos C)$ ， $\vec{n} = (- 2 a + c, b)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$ ，

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a + c = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3}{4} \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

(3)、若三角形为锐角三角形，且 $b = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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10、设 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是非零复数， $\bar{z_{1}}$ ， $\bar{z_{2}}$ 分别是 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 的共轭复数，则下列结论中正确的是（）

A、 $z^{2} = | z |^{2}$ B、 $| z_{1} \cdot z_{2} | = | z_{1} | \cdot | z_{2} |$ C、 $\frac{z}{\bar{z}} = \frac{z^{2}}{| z |^{2}}$ D、若 $| z | = 1$ ，则 $| z - 1 - i |$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$

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11、在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a cos B - b cos A = b$ ，则 $\frac{b}{a + c}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(2 - \sqrt{3}, 1)$ C、 $(2 - \sqrt{3}, \sqrt{2} - 1)$ D、 $(\sqrt{2} + 1, \sqrt{3} + 2)$

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12、在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A D = B D$ ， $∠ A D B = 90 °$ （如图1），将 $△ A D B$ 沿BD折起到 $△ S D B$ 的位置（如图2），使得平面 $S D B ⊥$ 平面 $B C D$ ，则直线SB与直线CD所成角为（）

A、30° B、60° C、90° D、120°

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13、已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{3}{4} \vec{a}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、12

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14、若 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{8}$ 的方差为3，则 $2 (k_{1} - 3), 2 (k_{2} - 3), \dots, 2 (k_{8} - 3)$ 的方差为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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15、下列各组向量中，可以作为基底的是（）．

A、 ${\vec{e}}_{1} = (0, 0)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (1, - 2)$ B、 ${\vec{e}}_{1} = (- 1, 2)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (5, 7)$ C、 ${\vec{e}}_{1} = (3, 5)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (6, 10)$ D、 ${\vec{e}}_{1} = (2, - 3)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$

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16、已知集合 $A = \{x \in N |2^{x} \leq 32\}, B = {1, 3, 5, 7}$ ，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、 ${0, 2, 4}$ B、 ${2, 4}$ C、 ${0, 4}$ D、 ${2, 4, 5}$

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17、已知 $5 - a = ln a, b = {log}_{4} 3 + {log}_{9} 17, 7^{b} + 24^{b} = 25^{c}$ ，则以下关于 $a, b, c$ 的大小关系正确的是（）

A、 $b > c > a$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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18、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和．若 $a_{1} = - 2, a_{2} + a_{6} = 2$ ，则 $S_{10} =$ ．

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19、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\cos B + \sin \frac{A + C}{2} = 0$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $a : c = 3 : 5$ ，且AC边上的高为 $\frac{15 \sqrt{3}}{14}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, P A = A B = A D = 2, D C = 4, D C ∥ A B$ ， $A D ⊥ A B, E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $P D ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求 $A C$ 与平面 $A B E$ 所成的角的正弦值.

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