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相关试卷

1、已知 $z = - 1 + i$ ，则 $\frac{1}{z + 1} =$ （）

A、 $- i$ B、i C、-1 D、1

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, {sin}^{2} B + {sin}^{2} C - {sin}^{2} A = sin B sin C$ .

(1)、若 $b = 1, c = 2, D$ 为线段 $B C$ 中点，求线段 $A D$ 的长；

(2)、奥古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Louis Cauchy，1789年～1857年），法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.①用向量证明二维柯西不等式： ${(x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2})}^{2} \leq (x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) (x_{2}^{2} + y_{2}^{2})$ ；②已知三维分式型柯西不等式： $y_{1}, y_{2}, y_{3} \in R^{+}, \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \frac{x_{3}^{2}}{y_{3}} \geq \frac{{(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2}}{y_{1} + y_{2} + y_{3}}$ ，当且仅当 $\frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{x_{2}}{y_{2}} = \frac{x_{3}}{y_{3}}$ 时等号成立.若 $a = 3, P$ 是 $△ A B C$ 内一点，过 $P$ 作 $A B, B C, A C$ 垂线，垂足分别为 $D, E, F$ ，求 $T = \frac{c}{|P D|} + \frac{9 a}{|P E|} + \frac{b}{|P F|}$ 的最小值.

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3、如图（1），正方形 $A B C D$ 的边长为 $2, E, F$ 分别为 $B C, C D$ 的中点， $A E, A F$ 与对角线 $B D$ 的交点分别为 $M, N$ ，对角线 $A C$ 交 $E F$ 于 $G$ ，沿图中虚线折起，使 $B, C, D$ 三点重合于点 $P$ ，得到图（2）所示的多面体.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P M N$ ；

(2)、求证：平面 $A P G ⊥$ 平面 $A E F$ ；

(3)、求四棱锥 $P - E F N M$ 的体积.

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4、高一年级有男生600人，女生400人，一次数学测验后，随机抽取了部分男生的成绩，统计得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、根据频率分布直方图，请估计所有男生的平均成绩与方差；

(2)、已知所有女生的平均成绩为65，请估计高一年级所有学生的平均成绩；

(3)、为进一步了解学情，用分层抽样的方法从高一所有学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机找两名学生谈话，求这两名学生恰为一名男生和一名女生的概率.

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5、在 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 上一点， $A C ⊥ A D, A D = 2 \sqrt{3}, A B = 2 B D$ ，且 $△ A C D$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $sin ∠ A B D$ 的值为.

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6、已知 $sin x + cos x = \frac{7}{5}$ ，则 $sin 2 x$ 的值为.

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7、如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面 $C_{1} B_{1} B C$ 内（不含边界）一点 $P$ 与棱 $D D_{1}$ 把木料锯成两块，为此需要先在面 $C_{1} B_{1} B C$ 内作出交线 $l$ ，下列关于交线 $l$ 与截面形状的说法正确的是（）

A、截面形状是梯形 B、截面形状可能为等腰梯形 C、直线 $l$ 与直线 $D D_{1}$ 相交 D、直线 $l$ 与直线 $A A_{1}$ 相交

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8、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $C = 60 °$ ， $b = 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、若 $c = 2 \sqrt{2}$ ，则 $△ A B C$ 只有一解 C、若 $B = 75 °$ ，则 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{27 - 9 \sqrt{3}}{4}$ D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $a \in (\frac{3}{2}, 6)$

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9、如图为2022年全国居民消费价格月度涨跌幅情况，则（）

A、环比涨跌幅的极差小于同比涨跌幅的极差 B、环比涨跌幅的平均数为 $0.1 \frac{0}{0}$ C、环比涨跌幅的方差小于同比涨跌幅的方差 D、同比涨跌幅的75百分位数为 $1.55 \frac{0}{0}$

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10、如图，圆台的上、下底面半径分别为 $r_{1}, r_{2}$ ，半径为 $R$ 的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，且 $4 r_{1} + r_{2} = R^{2}$ ，则圆台的侧面积最小值为（）

A、 $100 π$ B、 $96 π$ C、 $88 π$ D、 $81 π$

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11、如图，为了测量河对岸的塔高 $A B$ ，选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ .现测得 $∠ B C D = α, ∠ C D B = β, C D = m$ ，在点 $C$ 测得塔顶 $A$ 的仰角为 $θ$ ，则塔高 $A B$ 为（）

A、 $\frac{m sin β}{tan θ sin (α + β)}$ B、 $\frac{m sin θ sin α}{sin (α + β)}$ C、 $\frac{m cos θ sin α}{sin (α + β)}$ D、 $\frac{m tan θ sin β}{sin (α + β)}$

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12、已知事件 $A, B$ 相互独立，若 $P (A) = 0.4, P (A B) = 0.24$ ，则 $P (\bar{B})$ 的值为（）

A、0.36 B、0.4 C、0.6 D、0.76

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13、已知数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{10}$ 的中位数为2，方差为3，那么数据 $2 x_{1} + 3, 2 x_{2} + 3, \cdot \cdot \cdot, 2 x_{10} + 3$ 的中位数和方差分别为（）

A、2，3 B、7，6 C、7，12 D、4，12

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14、在下面的四组向量中，能作为一组基底的是（）

A、 $\vec{a} = (2, 3), \vec{b} = (3, - 2)$ B、 $\vec{a} = (2, - 2), \vec{b} = (1, - 1)$ C、 $\vec{a} = (- 2, 3), \vec{b} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ D、 $\vec{a} = (1, - 3), \vec{b} = (- 3, 9)$

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15、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 1$ ，则 $|z|$ 为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $1$ D、 $\frac{1}{4}$

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16、复数 $z = \frac{4 + 3 i}{1 - 2 i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、已知函数 $y = f (x)$ ，若其定义域为 $(0, + \infty)$ ，且满足 $f^{'} (x) - \frac{1}{x} f (x) + \frac{1}{x} > 0$ 对一切 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，则称 $f (x)$ 为一个“反比函数”．

(1)、设 $g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 1 (x > 0)$ ，判断 $y = g (x)$ 是否为“反比函数”，并说明理由；

(2)、若 $a < 1 - \frac{1}{2 e^{4}}$ ，求证：函数 $y = a x - 3 - \ln x - \frac{1 - a}{x}$ 是“反比函数”；

(3)、已知“反比函数” $y = f (x)$ 满足对任意的 $x_{1}, x_{2} > 0$ ，都有 $f (x_{1} + x_{2}) \leq f (x_{1}) f (x_{2})$ ，且 $f (1) = 2$ ，求证：对任意的 $a \leq 1$ ，关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 无解．

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18、已知 $f (x) = \frac{x e^{x}}{e^{x} - 1} - 1$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若方程 $(\ln x + m) [f (x) + 1] = e^{x}$ 有两个不同的实数解 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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19、随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活．现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”．某市 $M$ 社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买菜
不喜欢网上买菜
合计
年龄不超过45岁的市民
40
10
50
年龄超过45岁的市民
20
30
50
合计
60
40
100

(1)、试根据 $α = 0.05$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，分析 $M$ 社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄是否有关；

(2)、 $M$ 社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜，如果周一选择 $A$ 平台买菜，那么周二选择 $A$ 平台买菜的概率为 $\frac{4}{5}$ ，如果周一选择 $B$ 平台买菜，那么周二选择 $A$ 平台买菜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，求小张周二选择 $B$ 平台买菜的概率．
参考公式及数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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20、高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，创新研发是高质量发展的重要前提．某公司研发新产品的投入 $x$ （单位：百万元）与该产品的收益 $y$ （单位：百万元）的5组统计数据如下表所示，且经验回归方程为 $\hat{y} = 2.8 x + 2.6$ ．
x
5
6
8
9
12
y
16
20
25
28
$m$

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若将图表中的点 $(8, 25)$ 去掉，判断样本相关系数 $r$ 是否改变，并说明你的理由．
参考数据：样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$

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	喜欢网上买菜	不喜欢网上买菜	合计
年龄不超过45岁的市民	40	10	50
年龄超过45岁的市民	20	30	50
合计	60	40	100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

x	5	6	8	9	12
y	16	20	25	28	$m$