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相关试卷

1、若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质.对于正整数 $n, φ (n)$ 是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数.函数 $φ (n)$ 以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如 $φ (3) = 2$ ，则 $φ (9) = 6$ .若数列 $\{\frac{φ (2^{n})}{φ (3^{n})}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n} =$ .

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2、已知 $cos β = 2 cos (2 α + β)$ ，则 $tan (α + β) tan α =$ .

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3、函数 $f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - \ln x$ 的极值点为.

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4、某校篮球社团准备招收新成员，要求通过考核才能加入，考核规则如下：报名参加该社团的学生投篮 $n$ 次，若投中次数不低于投篮次数的 $50 %$ ，则通过考核.学生甲准备参加该社团，且他的投篮命中率为0.9，每次是否投中相互独立.若 $n = 3$ ，记甲通过考核的概率为 $P_{1}$ ，若 $n = 20$ ，记甲通过考核的概率为 $P_{2}$ ，若 $n = 21$ ，记甲通过考核的概率为 $P_{3}$ ，若 $n = 19$ ，记甲通过考核的概率为 $P_{4}$ ，若 $n = 22$ ，记甲通过考核的概率为 $P_{5}$ ，则（）

A、 $P_{1} = 0.972$ B、 $P_{2} < P_{3}$ C、 $P_{2} < P_{4}$ D、 $P_{2} < P_{5}$

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5、已知各项均不为零的数列 $\{a_{n}\}$ ，其前 $n$ 项和是 $S_{n} ， a_{1} = a$ ，且 $S_{n} = a_{n} a_{n + 1} (n = 1 ， 2 ， \dots)$ . 下列说法正确的是（）

A、 $a_{2} = 1$ B、若 $\{a_{n}\}$ 为递增数列，则 $a$ 的取值范围是 $(0, 1)$ C、存在实数 $a$ ，使得 $\{a_{n}\}$ 为等比数列 D、 $\exists m \in N^{*}$ ，使得当 $k > m$ 时，总有 $\frac{a_{2 k}}{a_{2 k - 1}} < 2^{0.01}$

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6、已知函数 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{4}) + 2$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称 B、为了得到函数 $g (x) = 2 cos (2 x + \frac{π}{3}) + 2$ 的图象，可将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{7 π}{24}$ 个单位长度 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上的值域为 $(\sqrt{2} + 2, 4]$ D、 $f (x)$ 两个相邻的零点之差的绝对值为 $π$

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7、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $a_{n + 1} = 5 a_{n} + 2 \times 5^{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则下列说法中不正确的是（）

A、 $a_{n} = 2 （ n + 1) \cdot 5^{n - 1}$ B、 $T_{n} = (\frac{1}{2} n + \frac{3}{8}) \cdot 5^{n} - \frac{3}{8}$ C、 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{5 n + 10}{n + 1}$ D、 $8 T_{n} = 10 a_{n} - 3$

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8、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = \frac{1}{e}$ ，且 $f (x) + f^{'} (x) < 0$ ，则不等式 $f (x + 1) > \frac{1}{e^{x + 1}}$ 的解集是（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0)$

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9、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为4，上顶点为 B ，O为坐标原点，点D为OB的中点，曲线 $E : \frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0, n > 0)$ 的左、右焦点分别与椭圆 C 的左、右顶点 $A_{1}, A_{2}$ 重合，点P是双曲线E与椭圆C在第一象限的交点，且 $A_{1}, P, D$ 三点共线，直线 $P A_{2}$ 的斜率 $k_{P A_{2}} = - \frac{4}{3}$ ，则双曲线E的实轴长为（）

A、 $\frac{8}{5} \sqrt{10}$ B、 $\frac{6}{5} \sqrt{10}$ C、 $\frac{6}{5} \sqrt{10} - 1$ D、 $\frac{8}{5} \sqrt{10} - 2$

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10、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $E$ ， $F$ 分别是棱 $C D$ ， $A_{1} D_{1}$ 的中点，则正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 被平面 $A E F$ 所截得的截面周长是（）

A、 $4 \sqrt{5} + 4 \sqrt{2}$ B、 $5 \sqrt{5} + \sqrt{17}$ C、 $4 \sqrt{5} + 2 \sqrt{2} + 4$ D、 $6 \sqrt{5} + 2$

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11、已知直线 $l$ ： $2 x - y + 5 = 0$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 4 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $|A B| =$ （）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、4 C、 $\sqrt{5}$ D、2

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12、已知单调递减的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} a_{4} = \frac{1}{64}, a_{1} + a_{5} = \frac{17}{32}$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、 $\frac{1}{1024}$ B、 $\frac{1}{512}$ C、512 D、1024

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13、若 $3 - 2 i = a + b i$ （ $a, b \in R$ ， $i$ 是虚数单位），则 $a, b$ 的值分别等于（）

A、 $3, - 2$ B、 $3, 2$ C、 $3, - 3$ D、 $- 1, 4$

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14、集合 $A = \{x \in N |5 - x > 1\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ，则 $∁_{B} A =$ （）

A、 $\{5\}$ B、 $\{4, 5\}$ C、 $\{- 1, 4, 5\}$ D、 $\{- 1, 0, 4, 5\}$

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15、若正项数列 $\{x_{n}\}$ 的任意相邻四项 $x_{m}$ ， $x_{m + 1}$ ， $x_{m + 2}$ ， $x_{m + 3}$ 满足 $\frac{x_{m} x_{m + 3}}{x_{m + 1} x_{m + 2}} = \frac{x_{m} + x_{m + 3}}{x_{m + 1} + x_{m + 2}}$ ，则称数列 $\{x_{n}\}$ 是反数列．已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 均为反数列， $a_{1} = b_{1} = 1$ ．

(1)、证明： $(a_{1} - a_{2}) (a_{3} - a_{4}) \geq 0$ ；

(2)、若 $a_{3} = b_{3}$ ， $a_{2} + b_{2} = 1$ ，且数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 为反数列，求 $\{a_{2 n} + b_{2 n}\}$ 的前 $n$ 项和；

(3)、若 $a_{2} = \frac{3}{4}$ ， $b_{3} = \frac{1}{2}$ ，且数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 为反数列，证明： $\sum_{i = 1}^{n} a_{2 i} b_{2 i - 1} < \frac{3 n}{n + 1}$ ．

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16、现有公差为 $d (d > 0)$ 的 $m (m \geq 2)$ 项等差数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ ，若从中随机取出 $l (0 \leq l \leq m)$ 项后，对于剩余项始终有 $a_{j} - a_{i} > d (1 \leq i < j \leq m)$ ，则称将取出的项按由小到大顺序排成的数列为 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ 的“间子列”．

(1)、写出数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 的所有间子列；

(2)、证明：存在数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m + 1}$ 的一个间子列，其也为数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ 的间子列；

(3)、从数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ 中取出若干项从小到大排成一新数列，记该数列为 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ 的间子列的概率为 $p_{k}$ ，证明： $p_{k} \leq \frac{7}{32}$ ．

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17、已知 $k \in N^{*}$ ， $m \in N^{*}$ ， $k \leq m$ ， $m > 1$ ，设统计量 $P (k) = \frac{C_{m}^{k}}{C_{m + 1}^{2}}$ ．

(1)、若 $P (2) > \frac{1}{2}$ ，求 $m$ 的取值范围；

(2)、记 $E = \sum_{k = 1}^{m} k P (k)$ ，用 $m$ 表示 $E$ ；

(3)、判断 $E$ 与1的大小关系，并说明理由．

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18、已知函数 $f (x) = e^{x - a} - a x$ 的最小值是0．

(1)、求 $a$ ；

(2)、若实数 $m$ ， $n$ 满足 $m n = e^{m - 1} + n ln n$ ，求 $m n$ 的最小值．

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $a c (1 + 2 cos B) = {(a - c)}^{2}$ ．

(1)、求 $\frac{{sin}^{2} B}{sin A sin C}$ ；

(2)、求角 $B$ 的最大值．

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20、设 $A$ ， $B$ 为抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上不同象限内的两点，且直线 $A B$ 的斜率为1．记 $O$ 为原点，则 $∠ A O B$ 的取值范围是．

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