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相关试卷

1、在数列 $\{2^{n}\}$ 的项 $2^{i}$ 和 $2^{i + 1}$ 之间插入 $i$ 个 $i (i = 1, 2, 3, \dots, i \in N^{*})$ 构成新数列 $\{a_{n}\}$ ，则 $a_{100} =$ （）

A、13 B、 $2^{13}$ C、14 D、 $2^{14}$

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2、若 $O$ 为坐标原点， $A (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ，当 $O A$ 绕 $O$ 点逆时针旋转 $\frac{π}{2}$ 至 $O A^{'}$ 时， $A^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ B、 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ C、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ D、 $(- \frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$

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3、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个单位向量， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，则 $|\sqrt{3} \vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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4、对于数列 $\{a_{n}\}$ ， “ $a_{n} = k n + b$ ”是“数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列”的（）

A、充分非必要条件； B、必要非充分条件； C、充要条件； D、既非充分又非必要条件.

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5、已知 $A = \{x |{log}_{2} x \geq - 1\}$ ， $B = \{x |y = \sqrt{1 - x^{2}}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[1, 2]$ B、 $(0, 2]$ C、 $[\frac{1}{2}, 1)$ D、 $[\frac{1}{2}, 1]$

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6、若函数 $y = f (x)$ 的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数 $y = f (x)$ 的图象的“自公切线”，称这两点为函数 $y = f (x)$ 的图象的一对“同切点”.

(1)、分别判断函数 $f_{1} (x) = \sin x$ 与 $f_{2} (x) = \ln x$ 的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；

(2)、若 $a \in R$ ，求证：函数 $g (x) = \tan x - x + a (x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}))$ 有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ， $h (x) = \tan x - x + n π (x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}))$ 的零点为 $x_{n}$ ， $t \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，求证：“存在 $s \in (2 π, + \infty)$ ，使得点 $(s, \sin s)$ 与 $(t, \sin t)$ 是函数 $y = \sin x$ 的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“ $t$ 是数列 ${x_{n}}$ 中的项”.

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7、阿尔法狗 $(AlphaGo)$ 是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军.它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗 $(AlphaGo)$ ，三个阶段的阿尔法狗 $(AlphaGo)$ 依次简记为甲、乙、丙.

(1)、测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗 $(AlphaGo)$ 各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4} .$ 记该棋手连胜两局的概率为p，试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程.

(2)、工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为 $α$ ，乙获胜的概率为 $β$ ，且每局比赛结果相互独立.
（ⅰ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望 $E (X)$ 的最大值；
（ⅱ）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事M，证明： $P (M) = \frac{α^{2}}{α^{2} + β^{2}} .$

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8、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(0, \sqrt{3})$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2} .$

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、过点 $M (\sqrt{2}, 1)$ 的直线l与椭圆交于A，B两点，与x轴交于点P，与y轴交于点Q，
（ⅰ）若点M为线段AB的中点，求证： $| A P | = | B Q |$ ；
（ⅱ）若原点O总在以AB为直径的圆外，求直线l斜率的取值范围.

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9、如图，三棱锥 $P - A B C$ 的底面是边长为2的正三角形ABC，且 $P A = P B$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $P A C .$

(1)、证明： $P C ⊥$ 平面 $A B C;$

(2)、若BC与平面 $P A B$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{8}$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P A C$ 夹角的余弦值.

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10、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 3.$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在数列 $\{a_{n}\}$ 的相邻项 $a_{k}$ 与 $a_{k + 1} (k \in N^{*})$ 之间插入k个相同的数 ${(- 1)}^{k}$ ，使其与原数列构成新数列 $\{b_{n}\}$ ，设 $T_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和，求 $T_{40} .$

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11、设 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 6 x + 10, x \leq 2 \\ \log_{a} x, x > 2 \end{array}$ 的值域为 $[2, + \infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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12、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $A, M$ 为抛物线上的点，且满足 $|O M| = |O F|$ ，过 $M$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $N, A M$ 与 $N F$ 交于点 $Q$ ，则（）

A、直线 $N F$ 的斜率为定值 B、 $tan ∠ M F A = 2 tan ∠ N F A$ C、 $cos ∠ M F A = \frac{|M Q|}{|A Q|}$ D、 $\frac{|N Q|}{|Q F|} = \frac{|A N|}{|A M|}$

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13、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若对任意实数x，y有 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 4 x y$ ，且 $f (1) = 2$ ， $f^{'} (0) = 0$ ，则（）

A、 $f (0) = - 2$ B、 $f (- 2) = 8$ C、 $f^{'} (1) = 4$ D、 $\sum_{i = 1}^{20} f^{'} (i) = 840$

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14、已知函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $f^{'} (- \frac{3 π}{16}) = 0$ C、 $f (- \frac{π}{8}) = f (- \frac{π}{4})$ D、 $f (- \frac{3 π}{16}) < f (- \frac{π}{16})$

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15、锐角 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，角A的平分线交BC于点D，若 $b + 2 a cos B = 2 c$ ，且 $a = \sqrt{7}$ ， $b = 3.$ 则下列结论中错误的是（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、 $A D = \frac{6 \sqrt{3}}{5}$ C、 $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $c = 1$

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，一条渐近线被以 $F$ 为圆心， $2 a$ 为半径的圆截得的弦长为 $2 \sqrt{3} a$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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17、在平面四边形ABCD中，若 $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ D C$ ，且 $A B = 1$ ， $A D = 3$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{B D} =$ （）

A、 $- 8$ B、8 C、10 D、3

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18、已知 $α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $sin (α - β) = \frac{1}{2}$ ， $tan α = 3 tan β$ ，则 $α + β =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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19、已知函数 $f (x) = 2^{x} + m \cdot 2^{- x} (m \in R)$ 是奇函数，则下列关系中正确的是（）

A、 $f (1) < f (2)$ B、 $f (1) > f (2)$ C、 $f (2) = 2 f (1)$ D、 $f (2) = \frac{3}{2} + f (1)$

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20、 $i$ 为虚数单位， $\bar{z}$ 为z的共轭复数，若 $z = \frac{1 + 2 i}{2 - i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $\frac{4}{5} + \frac{3}{5} i$ D、 $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} i$

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