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相关试卷

1、已知正四棱锥的侧棱长为 $l$ ，其各顶点都在同一球面上.若该球的表面积为 $36 π$ ，且 $3 \leq l \leq 4 \sqrt{2}$ ，则该正四棱锥体积的最大值是（）

A、18 B、 $\frac{81}{4}$ C、 $\frac{64}{3}$ D、27

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2、已知 $e \approx 2.71828$ 是自然对数的底数，设 $a = \sqrt{3} - \frac{3}{e}, b = \sqrt{2} - \frac{2}{e}, c = e^{\sqrt{2} - 1} - \ln 2$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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3、如图，二面角 $α - l - β$ 等于135°， $A$ ， $B$ 是棱 $l$ 上两点， $B D$ ， $A C$ 分别在半平面 $α$ ， $β$ 内， $A C ⊥ l$ ， $B D ⊥ l$ ，且 $A B = A C = 2$ ， $B D = \sqrt{2}$ ，则 $C D =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{14}$ D、4

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4、电力公司从某小区抽取100户居民用户进行12月用电量调查，发现他们的月用电量都在 $50 \sim 650 kW \cdot h$ 之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.

(1)、求 $a$ 的值及这100户的用电量的平均数；

(2)、力公司拟对用电量超过 $M (kW \cdot h)$ 的家庭的电器进行检测，若 $M$ 恰好为第71百分位数，求 $M$ .

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5、在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C, A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 2, A C = 4, △ P A B$ 是等腰直角三角形， $P A = P B$ .

(1)、求证： $P A ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求异面直线 $P B$ 与 $A C$ 的夹角的余弦值；

(3)、设点 $T$ 是三棱锥 $P - A B C$ 外接球上一点，求 $T$ 到平面 $P B C$ 距离的最大值.

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6、如图，两个正四棱锥的底面都为正方形 $A B C D$ ，顶点 $M, N$ 位于底面两侧， $|A B| = 2, A M ⊥ A N$ ．记正四棱锥 $M - A B C D$ 的体积为 $V_{1}$ ，正四棱锥 $N - A B C D$ 的体积为 $V_{2}$ ．

(1)、求 $V_{1} + V_{2}$ 的最小值；

(2)、若 $V_{1} = 2 V_{2}$ ，求直线 $A M$ 与平面 $B C N$ 所成角的正弦值．

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7、某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图（引体向上个数只记整数）．体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组．

(1)、第一小组决定从单次完成1~15个引体向上的男生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取22人进行全面的体能测试．
①在单次完成6~10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1~5个”的人数为随机变量X，求X的分布列；

(2)、第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成绩与体育成绩之间的 $2 \times 2$ 列联表．
体育成绩
学业成绩
合计
优秀
不优秀
不优秀
200
400
600
优秀
100
100
200
合计
300
500
800
根据小概率值 $a = 0.005$ 的独立性检验，分析体育锻炼是否与学业成绩有关？
参考公式：独立性检验统计量 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
临界值表：
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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8、已知在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{2 (n + 1)}{n} a_{n} \cdot (n \in N^{*})$

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ 在 $b_{k}$ 和 $b_{k + 1}$ 之间插入k个数，使这 $k + 2$ 个数组成等差数列，将插入的k个数之和记为 $c_{k}$ ，其中 $k = 1$ ， 2，…，n，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和．

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9、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + ϕ) (ω > 0 ， | ϕ | < π)$ 的部分图象如下图所示，且 $A (\frac{π}{2} ， 1) ， B (π ， - 1)$ ，则 $ϕ$ 的值为．

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10、过点 $M (- 3, - 3)$ 且互相垂直的两直线与圆 $x^{2} + y^{2} + 4 y - 21 = 0$ 分别相交于A、B和C、D，若 $|A B| = |C D|$ ，则四边形ACBD的面积等于．

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11、已知圆台下底面的半径为2，高为2，母线长为 $\sqrt{5}$ ，则这个圆台的体积为

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12、下列选项中正确的是（）

A、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (10, \frac{1}{2})$ ，则 $D (2 X) = 5$ B、口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球，从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量 $X$ ，则 $X$ 的数学期望 $E (X) = \frac{7}{5}$ C、抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得的样本空间为 $Ω = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，令事件 $A = \{2, 3, 4\}$ ，事件 $B = \{1, 2\}$ ，则事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立 D、某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次

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13、设 $e$ 为自然对数的底数，函数 $f (x) = \frac{e^{x} - a}{x} - a \ln x (x > 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = e$ 时， $f (x)$ 无极值点 B、当 $a > e$ 时， $f (x)$ 有两个零点 C、当 $1 < a < e$ 时， $f (x)$ 有1个零点 D、当 $a \leq 1$ 时， $f (x)$ 无零点

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14、已知抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点为F，准线为l且与x轴交于点Q，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若 $\vec{P F} = 3 \vec{M F}$ ，则（）

A、 $|M F| = \frac{2}{3}$ B、 $|M N| = \frac{8}{3}$ C、 $|F Q| = 1$ D、 $|P Q| = 2$

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15、若 $2 \cos 2 x = 1 + \sin 2 x$ ，则 $\tan x =$ （）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- 1$ 或 $\frac{1}{3}$ D、 $- 1$ 或 $\frac{1}{3}$ 或3

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16、在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有

A、24种 B、48种 C、96种 D、144种

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17、过抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点 $F$ 作直线与抛物线交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，若直线 $O A, O B$ 的斜率分别是 $k_{1}, k_{2}$ ，则（）

A、以 $A F$ 为直径的圆与 $x$ 轴相切； B、 $\frac{1}{|A F|} + \frac{1}{|B F|} = 8$ C、 $k_{1} k_{2} = - 2$ D、分别过 $A, B$ 两点作抛物线的切线 $l_{1}, l_{2}$ 相交于点 $P$ ，则点 $P$ 在 $y = - \frac{1}{8}$ 上.

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18、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，两焦点和短轴一个端点构成边长为 $2$ 的正三角形．

(1)、求椭圆方程；

(2)、设直线 $l_{1}$ ： $y = k x + m$ 与椭圆 $E$ 相切于第一象限内的点 $P$ ，不过原点 $O$ 直线 $l_{2}$ ： $y = k x + n$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A ， B$ ，点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点为 $C$ ．记直线 $O P$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B C$ 的斜率为 $k_{2}$ ．
①求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值；
②若 $O$ ， $P$ ， $B$ ， $C$ 四点围成的四边形为平行四边形，求 $\frac{S_{△ O A B}}{S_{△ P A B}}$ 的值．

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19、已知菱形 $A B C D$ 如图①所示，其中 $A B = 4$ 且 $∠ C A B = 60^{\circ}$ ，现沿 $A C$ 进行翻折，使得平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ ，再过点 $B$ 作 $B E ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $B E = \frac{\sqrt{3}}{4} A B$ ，所得图形如图②所示．

(1)、求五面体 $A B C D E$ 的体积；

(2)、若点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A C}$ ，若 $B P$ 与平面 $A D E$ 所成角为 $θ$ ，求 $sin θ$ 的最大值．

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20、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1} (- c, 0)$ 、 $F_{2} (c, 0)$ ， $c > 0$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线在第四象限的交点为 $P$ ，若直线 $P F_{1}$ 与圆 $E : {(x - \frac{c}{3})}^{2} + y^{2} = \frac{b^{2}}{9}$ 相切，则双曲线的离心率是．

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体育成绩	学业成绩		合计
体育成绩	优秀	不优秀	合计
不优秀	200	400	600
优秀	100	100	200
合计	300	500	800

α	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828