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相关试卷

1、已知 $| \overset{⃑}{a} | = 2, | \overset{⃑}{b} | = 1$ ， $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，设 $\overset{⃑}{m} = 2 t \overset{⃑}{a} + 7 \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{n} = \overset{⃑}{a} + t \overset{⃑}{b}$ ．

(1)、求 $\overset{⃑}{a} \cdot (\overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b})$ 的值；

(2)、若 $\overset{⃑}{m}$ 与 $\overset{⃑}{n}$ 的夹角是锐角，求实数t的取值范围．

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2、已知 $\sin α = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，且 $π < α < \frac{3 π}{2}$ ，求下列各式的值：
(1) $\tan α$ ；
(2) ${(\sin α + \cos α)}^{2} + \frac{\sin (α + 3 π ） + \cos (π + α)}{\sin (- α ） - \cos (π + α)}$ .

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3、已知函数 $f (x) = sin(ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0, x \in R)$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 内没有零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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4、将函数 $f (x) = 2 sin x$ 图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{4}$ ，再将所得的图象向右平移 $\frac{π}{32}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x) =$ .

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5、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $f (0) = \sqrt{3}$ B、将函数 $f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位所得图象关于 $y$ 轴对称 C、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称 D、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{5 π}{12}]$ 上单调递减

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6、关于非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，下列命题中，正确的是（）

A、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $\vec{a} = - \vec{b}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ C、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ D、若 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} > \vec{b}$

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7、已知函数 $f (x) = 3 \cos x (x \in [0, π])$ 的图象与函数 $g (x) = 8 \tan x$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $△ O A B$ （ $O$ 为坐标原点）的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{4}$ B、 $\sqrt{2} π$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$

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8、已知 $α \in (0, \frac{π}{2}), β \in (0, π)$ ，且 $tan (α - β) = \frac{1}{2}, tan β = - \frac{1}{7}$ ，则 $2 α - β$ 的值是（）

A、 $- \frac{3 π}{4}$ B、 $- \frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $- \frac{3 π}{4}$ 或 $\frac{π}{4}$

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9、已知 $cos θ - sin θ = \frac{1}{2}$ ，则 $cos 4 θ =$ （）

A、 $- \frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{7}{16}$ D、 $\frac{7}{8}$

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10、已知 $α$ 是第二象限角，则（）

A、 $\frac{α}{2}$ 是第一象限角 B、 $\sin \frac{α}{2} > 0$ C、 $\sin 2 α < 0$ D、 $2 α$ 是第三或第四象限角

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11、已知 $| \vec{a} | = 3, | \vec{b} | = 5$ ，设 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量是（）

A、 $- \frac{5}{6} \vec{b}$ B、 $- \frac{3}{10} \vec{b}$ C、 $\frac{3}{10} \vec{b}$ D、 $\frac{5}{6} \vec{b}$

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12、已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（）

A、 $4 c m^{2}$ B、 $6 c m^{2}$ C、 $8 c m^{2}$ D、 $10 c m^{2}$

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13、已知非常数数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{a_{n} - 4 n - 4}{a_{n + 1} - 4 n - 4}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $3^{a_{1}} b_{1} + 3^{a_{2}} b_{2} + 3^{a_{3}} b_{3} + \cdot \cdot \cdot + 3^{a_{n}} b_{n} = a_{n}^{2}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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14、如图，四边形 $A D E F$ 为正方形，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = C D = 1$ ， $A B = 2$ ，平面 $A D E F ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明： $C F ⊥ C B$ .

(2)、求平面 $A D E F$ 与平面 $B C F$ 夹角的余弦值.

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15、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2} b c (1 - \cos A)$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a = 4$ ， $b = \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16、传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类.如图，第一行的 $1, 3, 6, 10$ 称为三角形数，第二行的 $1, 5, 12, 22$ 称为五边形数，则三角形数的第20项为，五边形数的第24项为.

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17、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (|φ| < \frac{π}{2})$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{8}$ 对称，则 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上的值域为.

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{m + 3} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $C$ 的长轴长为.

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19、已知 $P (x, y)$ 是曲线 $y = \sqrt{- 4 x - x^{2}}$ 上一动点，若满足 $|x + y - t| = 2$ 的点 $P$ 恰有2个，则实数 $t$ 的取值可能是（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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20、南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列 $1, 3, 6, 10$ ，它的前后两项之差组成新数列 $2, 3, 4$ ，新数列 $2, 3, 4$ 为等差数列，这样的数列 $1, 3, 6, 10$ 称为二阶等差数列.已知数列 $\{a_{n}\}, a_{1} = 2, a_{2} = 6$ ，且 $a_{n + 1} + a_{n - 1} = 2 (a_{n} + 1) (n ⩾ 2)$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 为二阶等差数列 B、 $a_{n} = 4 n - 2$ C、数列 $\{a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2}\}$ 为三阶等差数列 D、数列 $\{a_{n + 1} + a_{n}\}$ 为二阶等差数列

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