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相关试卷

1、意大利著名画家达 $\cdot$ 芬奇曾提出一个引人深思的数学问题：倘若将项链的两端牢牢固定，并让它在重力的牵引下自然垂落，那么这条项链所勾勒出的曲线形态究竟怎样?这便是闻名遐迩的“悬链线问题”.1691年，莱布尼茨和伯努利推导出悬链线的方程为 $y = \frac{c}{2} (e^{\frac{x}{c}} + e^{- \frac{x}{c}})$ ，其中c为参数.当 $c = 1$ 时就是双曲函数，其中双曲余弦函数为 $\cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，双曲正弦函数为 $\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，悬链线方程在海洋、河流、道路工程等多个领域有着广泛的应用，它的应用不仅能提高工程结构的安全性和稳定性，也能增强整个工程项目的经济性和实用性．

(1)、求证： $\cosh 2 x = \cosh^{2} x + \sinh^{2} x$ ；

(2)、求函数 $y = \cosh 2 x - 2 \cosh x$ 的最小值；

(3)、求证：对 $\forall x \in [- π, \frac{π}{4}]$ ， $c o s h (c o s x) > s i n h (s i n x)$ ．

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2、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为2，部分图象如图所示．

(1)、求A， $ω$ ， $φ$ ；

(2)、在实数范围内，求使不等式 $f (x) - \sqrt{3} \geq 0$ 成立的x的集合；

(3)、若 $f (m) = 0$ ，且满足 $|m| + f (m + \frac{1}{2}) < 36$ ，求满足要求的m的个数．

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3、经过市场调查分析，某地区一年的前 $n$ 个月内，对某种商品的需求累计 $f (n)$ 万件，近似地满足下列关系： $f (n) = \frac{1}{70} n (n + 1) (19 - n), n = 1, 2, 3, \dots, 12$ ．

(1)、求这一年内，哪几个月需求量超过1.7万件?

(2)、若在全年销售，将该产品都在每月初等量投放市场，则为保证该产品全年不脱销，每月初至少投放多少万件?（精确到 $0.01$ 万）

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4、已函数 $f (x)$ 为定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{x}{2} - \frac{2}{x}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式．

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调区间，并说明理由．

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5、已知函数 $f (x) = \log_{2} (x + a) + \log_{2} (b - x)$ 的图象经过点 $(- 1, 1), (0, 1)$ ，其中 $a > 0, b > 0$ ．

(1)、求实数a，b的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的定义域和值域．

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 3 a x + 1, x \leq 1 \\ 2 a + a \ln x, x > 1 \end{array}$ 对任意实数 $x_{1}, x_{2}, x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则实数a的取值范围是．

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7、在平面直角坐标系中，已知 $⊙ O$ 是以原点O为圆心，半径长为3的圆，角 $x (rad)$ 的终边与 $⊙ O$ 的交点为P，则点P的纵坐标y关于x的函数解析式 $y =$ ．

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8、设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，例如， $[- 3.5] = - 4, [2.1] = 2$ ．已知函数 $f (x) = x - [x]$ ，下列选项正确的有（）

A、 $f (- x) = f (x)$ B、 $f (x) = f (x + 1)$ C、当 $x \in (0,1)$ 时， $f (x) + f (- x) = 1$ D、方程 $f (x) - |lg x| = 0$ 在实数范围内有9个不同的实数根

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9、已知函数 $f (x) = \cos (3 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < 0)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{5π}{24}, \frac{π}{24})$ 单调递增 B、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, π)$ 内有4个零点 C、点 $(- \frac{π}{4}, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{5π}{8}]$ 上的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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10、已知集合 $A = \{(x, y) | 3 x - y = 0\}$ ， $B = \{(x, y) | x - y = 0\}$ ， $C = \{(x, y) | 3 x - y = 4\}$ ， $D = \{(x, y)| \{\begin{array}{l} 2 x - y = 1 \\ x + 2 y = 3 \end{array}\}$ ，下列选项正确的有（）

A、 $A \cap B = \{0\}$ B、 $A \cap C = \emptyset$ C、 $B \cap C = (2, 2)$ D、 $D \subseteq B$

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11、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty, + \infty)$ 上的奇函数，且满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ．若 $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2025) =$ （）

A、0 B、2 C、2024 D、2025

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12、某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为 $P = P_{0} \cdot e^{- k t}$ （其中 $P_{0}$ ， k是正常数），如果在前5h消除了10%的污染物，则污染物减少50%需要花费的时间约为（）
（本题参考数据： $\ln 0.5 \approx - 0.693, \ln 0.9 \approx - 0.105$ ）

A、 $6h$ B、 $10h$ C、 $11h$ D、 $33h$

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13、在下列区间中，方程 $e^{x} + 3 x - 2 = 0$ 的解所在的区间为（）

A、 $(- \frac{1}{3}, 0)$ B、 $(0, \frac{1}{3})$ C、 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$

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14、已知 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α} = 3$ ，则 $\sin α \cos α =$ （）

A、 $\frac{4}{17}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\pm \frac{4}{17}$ D、 $\pm \frac{2}{5}$

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15、设命题 $p :$ 三角形的内角和为 $180 °$ ，则p的否定为（）

A、所有三角形的内角和都不为 $180 °$ B、有的三角形的内角和为 $180 °$ C、存在三角形的内角和不为 $180 °$ D、三角形的内角和不为 $180 °$

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16、下列命题是真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、若 $a < b < c < 0$ ，则 $\frac{a}{c - a} < \frac{b}{c - b}$ D、若 $a < b < c < 0$ ，则 $\frac{a + c}{b + c} < \frac{a}{b}$

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17、已知集合 $A = \{x | x^{2} - x - 6 \leq 0\}$ ， $B = \{x | \frac{x - 1}{x - 5} \leq 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 2, 5)$ B、 $[1, 3]$ C、 $[1, 5)$ D、 $[- 2, 1] \cup [3, 5)$

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18、 $f (x)$ 和 $g (x)$ 都是定义在 $R$ 上的函数，若它们满足如下性质：① $f (x)$ 为奇函数， $g (x)$ 为偶函数；② $f (x) + g (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ）；则称 $f (x)$ 为类正弦函数， $g (x)$ 为类余弦函数.

(1)、求类正弦函数和类余弦函数的解析式；

(2)、求证：
（ⅰ） $f (2 x) = 2 f (x) g (x)$ ；
（ⅱ） $g (2 x) = 2 {[g (x)]}^{2} - 1$ ；

(3)、解关于 $x$ 的不等式： $g (2 x) - (b + \frac{1}{b}) g (x) + \frac{3}{2} \leq 0$ ，其中 $b$ 为非零常数.

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19、已知函数 $f (x) = \log_{2} x$ ， $g (x) = 4^{x} - a \cdot 2^{x}$ ， $a \in R$ ， $h (x) = x + \frac{3}{x}$ ；

(1)、当 $x \in [2, 4]$ 时，求函数 $h [f (x)]$ 的值域；

(2)、当 $x \in [1, 3]$ 时， $g (x) + a - 2 \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若存在 $x_{1} \in [2, 4]$ ，使得不等式 $h [f (x_{1})] \geq |g (x_{2}) - g (x_{3})|$ 对任意 $x_{2}$ ， $x_{3} \in [0, 1]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = \sin 2 x \cos θ - \cos 2 x \cos (\frac{π}{2} - θ)$ （ $0 < θ < \frac{π}{2}$ ），且 $|f (\frac{π}{3})| = 1$ .

(1)、求 $θ$ 的值及 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则求不等式 $g (x) + g (2 x - \frac{π}{2}) > 0$ 的解集

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