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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = |x^{2} - a x - 2| + a x$ ，若不等式 $f (x) \geq - 1$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $[- \sqrt{2}, - 1] \cup [1, \sqrt{2}]$ D、 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

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2、已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = \frac{2^{x - 1} - 1}{2^{x - 1} + 1} - 1$ 在 $x \in [1 - a, 1 + a]$ 上的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ，则下列式子一定成立的是（）

A、 $m - M = - 4$ B、 $m + M = - 4$ C、 $m - M = - 2$ D、 $m + M = - 2$

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3、已知命题 $p : \exists x \in [1, 2], 3 x^{2} - (a + 1) x + 1 < 0$ 为假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > 2 \sqrt{3} - 1$ B、 $a \leq 2 \sqrt{3} - 1$ C、 $a \leq 3$ D、 $a > 3$

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4、“ $a > b$ ”的一个充分条件可以是（）

A、 $3^{b - a} > 3$ B、 $\frac{a}{b} > 1$ C、 ${|a|}^{- 1} > {|b|}^{- 1}$ D、 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$

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5、已知函数 $f (2^{x})$ 的定义域为 $[0, 2]$ ，则函数 $f (x^{2})$ 的定义域为（）

A、 $[1, 16]$ B、 $[- 2, - 1] \cup [1, 2]$ C、 $[0, 1]$ D、 $[- 1, 1]$

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6、已知 $a > 0$ ，将 $\frac{\sqrt[6]{a}}{\sqrt{a \cdot \sqrt[3]{a^{2}}}}$ 表示成分数指数幂的形式，其结果是（）

A、 $a^{- 1}$ B、 $a^{- \frac{2}{3}}$ C、 $a^{- \frac{1}{2}}$ D、 $a^{\frac{2}{3}}$

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7、设 $f (x) = \{\begin{array}{l} 1 - \sqrt{x}, x \geq 0 \\ 3^{x}, x < 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 2)) =$ （）

A、-1 B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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8、已知集合 $M = {x \in Z ∣ - 4 < x < 2}, N = \{x ∣ x^{2} < 9\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x \in Z ∣ - 3 < x < 3}$ B、 ${x \in Z ∣ - 4 < x < 3}$ C、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ D、 $\{0, 1\}$

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9、已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 9}$ 是定义在 $[- 3, 3]$ 上的奇函数，满足 $f (1) = \frac{1}{5}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并利用定义证明.

(3)、若 $f (t^{2} - 1) + f (1 - 4 t) < 0,$ 求实数 $t$ 的取值范围.

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10、已知向量 $\vec{A B} = (- 1, 2, 2)$ ， $\vec{C D} = (2, 1, 2)$ ，则 $cos ⟨\vec{A B}, \vec{C D}⟩ =$ （）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$ 的定义域为（）

A、 $[1, 2) \cup (2, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $[1, 2)$ D、 $[1, + \infty)$

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12、已知一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，且半圆的半径为2，则此圆锥的体积为.

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13、已知互不相等的数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, t$ 的平均数为 $t$ ，方差为 $s_{1}^{2}$ ，数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的方差为 $s_{2}^{2}$ ，则 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ 的大小关系为（）

A、 $s_{1}^{2} > s_{2}^{2}$ B、 $s_{1}^{2} = s_{2}^{2}$ C、 $s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$ D、无法判断

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14、已知定点 $A (1, - 3)$ ，点 $B$ 为圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ 上的动点， $C$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、求 $C$ 的轨迹方程；

(2)、若过定点 $P (\frac{1}{2}, - 1)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的轨迹交于 $M, N$ 两点，且 $|M N| = \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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15、下列说法正确的有（）

A、若角 $α$ 的终边过点 $P (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则角 $α$ 的集合是 $\{α |α = \frac{π}{3} + 2 k π, k \in Z\}$ B、若 $cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin (α + \frac{2 π}{3}) = \frac{3}{5}$ C、若 $tan α = 2$ ，则 ${sin}^{2} α + sin α cos α = \frac{6}{5}$ D、若扇形的周长为 $8 cm$ ，圆心角为 $2 rad$ ，则此扇形的半径是 $4 cm$

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16、已知函数 $f (x)=ln (2^{| x |} −1) + x^{2} −1$ ，则不等式 $x f (x −2)<0$ 的解集是（）

A、 $(−∞,0)∪(1,3)$ B、 $(−3,−1)∪(0,+∞)$ C、 $(−∞,0)∪(1,2)∪(2,3)$ D、 $(−3,0)∪(0,2)∪(2,+∞)$

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17、如图1，圆C： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $A (1, 0)$ ， P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线CP相交于点Q.当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为E.

(1)、求轨迹E的方程；

(2)、过点C且与x轴不重合的直线l与E相交于M，N两点.设点 $B (2, 0)$ ，记直线BM，BN的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的值；

(3)、过点 $(0, 2)$ 作直线l交E于G，H两点（G在上方），设点 $R (0, \sqrt{3})$ ， $S (0, - \sqrt{3})$ ，若直线GS与HR相交于点T，证明：动点T在某定直线上.

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18、平面内沿着等腰直角 $△ A B C$ 的腰AC作底角 $∠ C A D = 30 °$ 的等腰 $△ A C D$ ， $A C = 2$ ，如图1.将 $△ A C D$ 沿AC翻折至 $△ A C K$ ，如图2.

(1)、当平面 $K A C ⊥$ 平面ABC时，
（ⅰ）证明： $K C ⊥ A B$ ；
（ⅱ）若G是 $△ A C K$ 的重心，求BG与平面ABC所成角的正弦值.

(2)、求二面角 $A - C K - B$ 的余弦值的最小值.

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19、已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线T： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，点A在T上，点 $P (t, 0)$ ，其中 $t > 0$ .

(1)、若直线AF斜率为1，且与T的另一个交点为B，求 $△ O A B$ 的面积；

(2)、经过点P作直线l交T于D、C两点，若点Q是点P关于y轴的对称点，且A是线段DQ的中点，证明： $A C ⊥ P Q$ .

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20、已知点 $P (\sqrt{3} + 2, 3 - \sqrt{3})$ ，直线 $a x - y + 2 = 0$ ，圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x - 6 y + 7 = 0$ .

(1)、过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线l，求直线l的方程；

(2)、若在圆 $C$ 上至少存在三个点到直线 $a x - y + 2 = 0$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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