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相关试卷

1、对于定义域为 $D$ 的函数 $y = f (x)$ ，如果存在区间 $[m, n] \subseteq D$ ，同时满足：① $f (x)$ 在 $[m, n]$ 内是单调函数；②当定义域是 $[m, n]$ 时， $f (x)$ 的值域也是 $[m, n]$ ，则称 $[m, n]$ 是该函数的“优美区间”.

(1)、求证： $[0, 2]$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ 的一个“优美区间”；

(2)、已知函数 $y = h (x) = \frac{(a^{2} + a) x - 1}{a^{2} x}$ （ $a \in R$ ， $a \neq 0$ ）有“优美区间” $[m, n]$ ，当 $a$ 变化时，求出 $n - m$ 的最大值.

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2、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |\frac{x - 1}{x - 5} \leq 0\}$ ，非空集合 $B = \{x |2 \leq x \leq 1 + 2 a\}$ ，其中 $a \in R$ ．
（1）若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要条件，求 $a$ 的取值范围；
（2）若命题“ $\exists x \in B$ ， $x \in ∁_{R} A$ ”是真命题，求 $a$ 的取值范围．

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3、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) < 2 ，$ 且 $f (e) = 5$ ，则不等式 $f (x^{2}) - 4 \ln x < 3$ 的解集为．

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4、若 $x_{1} = \frac{π}{3}$ ， $x_{2} = π$ 是函数 $f (x) = \sin ω x (ω > 0)$ 的两个相邻极值点，则 $ω =$ ．

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5、奇函数 $f (x)$ 满足 $f (4 - x) = f (x) ， f (1) = 1$ ，则 $f (5) =$

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6、设函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 4)$ ，则（）

A、 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点 B、 $f (2 + x) + f (2 - x) = - 4$ C、 $- 4 < f (2 x - 1) < 0$ 的解集为 ${x | 1 < x < 2}$ D、当 $0 < x < \frac{π}{2}$ 时， $f (sin x) > f ({sin}^{2} x)$

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7、下列命题正确的是（）

A、若函数 $f (x)$ 定义域为 $[1, 5]$ ，则函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域为 $[0, 2]$ B、 $f (0) = 0$ 是 $f (x)$ 为奇函数的必要不充分条件 C、正实数x，y满足 $3 x + 4 y - 5 x y = 0$ ，则 $x + 3 y$ 的最小值为5 D、函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4 x + 5)$ 在区间 $(3 m - 2, m + 2)$ 内单调递增，则实数m的取值范围为 $[\frac{4}{3}, 2]$

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8、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[0, 4]$ ，则函数 $y = \frac{f (x + 1)}{\sqrt{x - 1}} + {(x - 2)}^{0}$ 的定义域是（）

A、 $[1, 5]$ B、( $(1, 2) \cup (2, 5)$ C、 $(1, 2) \cup (2, 3]$ D、 $[1, 2) \cup (2, 3]$

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9、用列举法表示集合 $\{x |x^{2} - 2 x + 1 = 0\}$ 为（）

A、 ${1, 1}$ B、 ${1}$ C、 ${x = 1}$ D、 $\{x^{2} - 2 x + 1 = 0\}$

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10、在光学中，透镜的设计需要考虑光线的传播路径．假设光线的传播路径由函数 $y = f (x)$ 描述，光线的曲率 $k (x)$ 决定了光线的聚焦能力．曲率越大，光线的聚焦能力越强；曲率为零时，光线无聚焦能力．曲率的计算公式为： $k = \frac{|f^{″} (x)|}{{[1 + {(f^{'} (x))}^{2}]}^{\frac{3}{2}}}$ ．
其中， $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{'} (x)$ 的导函数．通过分析光线的曲率，可以优化透镜的设计，使其在不同位置具有不同的聚焦能力．已知函数 $f (x) = \ln (x^{2} + a)$ ，定义在区间 $x \in [0, 2]$ 上．假设光线的传播路径由该函数描述，光线的曲率 $k (x)$ 决定其聚焦能力．

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的曲率k；

(2)、已知实数 $a > 0$ ，对于任意的 $x \in [0, 2]$ ，若 $f (x) \geq a - 1$ 恒成立，
i.求a的值；
ⅱ.证明：对于任意 $x \in [0, 2]$ ，曲率 $k (x)$ 满足不等式 $0 \leq k (x) \leq 2$ ，并解释其光学意义．（参考数据： $\sqrt{41} \approx 6.403$ ）

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11、为营造文明健康，平安和谐的教育环境，助理青少年健康成长，学校制定2025“护苗行动”方案，开展寒假“家访”活动．某班安排语文、数学、外语、物理、化学5名老师到A、B、C、D四个住宅小区进行家访．

(1)、每个老师都只安排到一个住宅小区，有多少种不同的方案？

(2)、如果A住宅小区不安排，其余三个小区至少安排一名老师，则这5名老师全部被安排的不同方案有多少？

(3)、若每位老师都安排到一个小区，每个社区至少有一位老师，其中语文、外语不去A小区，其余三位老师四个社区均可安排，则不同安排方案有多少种？

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12、如图，在圆锥 $P O$ 中，底面圆 $O$ 的直径 $A B = 12$ ，母线 $A P = 3 \sqrt{13}$ ，若点 $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 上靠近点 $B$ 的三等分点， $D$ 为 $A C$ 的中点．

(1)、证明： $B C //$ 平面 $P O D$ ；

(2)、求平面 $P O D$ 与平面 $P B C$ 所成夹角的余弦值．

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13、已知函数 $f (x) = a x + \ln x - 1$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性．

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14、已知 ${(1 + 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，它的二项式系数之和为64．

(1)、求n的值；

(2)、求 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ 的值．

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15、罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步．罗马数字的表示法如表：
数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
形式
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
Ⅸ
其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”各需要2根火柴，若为0，则用空位表示（如123表示为， 405表示为）．如果把5根火柴以适当的方式全部放入的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为．

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16、若函数 $f (x) = \sin 2 x$ ，则 $\lim_{x \to 0} \frac{f (3 x) - f (0)}{x} =$ ．

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17、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{a} - 3 \vec{b}| =$ ．

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18、已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = 1 - \frac{1}{x}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有且仅有一个交点 B、函数 $y = g (f (x))$ 在其定义域上单调递增 C、若方程 $f (x) - g (x) = k$ 有实数根，则 $k \geq 0$ D、 $f (2025) < \sum_{n = 1}^{2024} \frac{1}{n} (n \in N^{*})$

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19、北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员乘组（汤洪波、唐胜杰、江新林）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排，则下列说法正确的是（）

A、若要求神舟十七号乘组3名航天员相邻，则这6名航天员共有144种不同的排法 B、若要求两个乘组航天员相间排列，则这6名航天员共有96种排法 C、若要求神舟十七号乘组3名航天员互不相邻，则这6名航天员共有144种排法 D、若要求航天员叶光富不在排头也不在排尾，则这6名航天员共有480种排法

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20、已知公差为 $1$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{7}$ 成等比数列，则（）

A、 $a_{9} = 10$ B、 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{n (n + 2)}{2}$ C、 $\{{(- 1)}^{n} a_{n}\}$ 的前100项和为100 D、 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前10项和为 $\frac{5}{12}$

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数字	1	2	3	4	5	6	7	8	9
形式	Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ	Ⅴ	Ⅵ	Ⅶ	Ⅷ	Ⅸ