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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = {log}_{a} (- x^{2} + 2 x + 3)$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ .

(1)、当 $a > 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间和值域；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > {log}_{a} (|x| + 1)$ .

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2、（1）已知 $x > 0$ ，求 $y = \frac{x}{x^{2} + 2 x + 4}$ 的最大值；
（2）已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 2$ ，求 $8 x + y$ 的最小值；
（3）已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $(x + 1) (y + 2) = 8$ ，求 $2 x + y$ 的最小值.

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3、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - \frac{3}{2} m) x^{m}$ 是偶函数.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = 2 f (x) - (2 a - 1) x - 1$ 在区间 $(- 2, 3)$ 上不单调，求实数 $a$ 的取值范围.

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4、已知集合 $A = \{x |a - 1 \leq x \leq a + 2\}$ ，集合 $B = \{x |x (x - 1) > 0\}$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若“ $t \in A$ ”是“ $t \in ∁_{R} B$ ”的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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5、对于函数 $y = f (x)$ ，若存在 $m$ 使得 $f (- m) = - f (m)$ ，则称点 $(m, f (m))$ 是函数 $y = f (x)$ 的“优美点”.已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x, x < 0 \\ (k - 1) x + 1, x \geq 0 \end{array}$ 存在“优美点”，则实数 $k$ 的取值范围为.

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6、若关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - a x + 2 > 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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7、 $8^{\frac{2}{3}} + {log}_{2} 4 + lg 2 + lg 5 =$ .

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |{log}_{2} x|, 0 < x \leq 2 \\ x^{2} - 6 x + 9, x > 2 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m$ 有且仅有4个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ （其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ），则（）

A、函数 $f (x)$ 的增区间为 $[1, 2]$ ， $[3, + \infty)$ B、 $m$ 的取值范围为 $0 < m < 2$ C、 $x_{1} x_{2} + x_{3} + x_{4} = 7$ D、 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) + x_{3} f (x_{3}) + x_{4} f (x_{4})$ 的取值范围为 $(0, \frac{17}{2})$

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9、若臭氧含量 $M$ 与时间 $t$ （单位：年）的函数关系式为 $M = M_{0} e^{- \frac{t}{100}}$ ，其中正数 $M_{0}$ 为臭氧的初始含量，则（）

A、随着时间的增加，臭氧的含量增加 B、随着时间的增加，臭氧的含量减少 C、当 $t = 100$ 时， $M = \frac{M_{0}}{e}$ D、已知 $t_{1}$ 年臭氧含量为 $M_{1}$ ， $t_{2}$ 年臭氧含量为 $M_{2}$ ，若 $M_{1} = e M_{2}$ ，则 $t_{2} - t_{1} = 100$

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10、已知 $a > b > c > 0$ ，则下列正确的是（）

A、 $2 a > b + c$ B、 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ C、 $a b > b c$ D、 $\frac{a}{b} > \frac{b}{c}$

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11、已知 $x, y \in R$ ，且 $x^{2} + y^{2} + x + y = 4$ ，则 $x + y$ 的最小值与最大值之和为（）

A、 $- 5$ B、 $- 4$ C、 $- 3$ D、 $- 2$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + (a - 2) x - 3, x < 0 \\ a \cdot 2^{x} - 2 a, x \geq 0 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[2, 3]$ B、 $[1, 2]$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2}, 2]$

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13、已知偶函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递减，若 $f (a - 1) > f (- 2)$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (1, + \infty)$

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14、已知集合 $A = \{0, 1\}$ ，集合 $B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ，则满足条件 $A \subseteq C \subseteq B$ 的集合 $C$ 的个数为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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15、已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - b x + c < 0$ 的解集为 $(- 1, 2)$ ，则 $2 b - c =$ （）

A、 $- 3$ B、4 C、6 D、9

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2}, x < 0 \\ x - 1, x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 2)) =$ （）

A、6 B、5 C、4 D、3

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17、函数 $f (x) = \frac{{log}_{2} (x + 1)}{\sqrt{1 - x}}$ 的定义域为（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $[- 1, 1)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- 1, + \infty)$

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18、命题“ $\exists x \in R$ ， $2^{x} > x$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $2^{x} < x$ B、 $\exists x \in R$ ， $2^{x} \leq x$ C、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} \leq x$ D、 $\forall x \in R$ ， $2^{x} > x$

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19、（1）已知：如图，两同心圆： $x^{2} + y^{2} = 3$ 和 $x^{2} + y^{2} = 4$ . $R$ 为大圆上一动点，连接 $O R$ （ $O$ 为坐标原点）交小圆于点 $K$ ，过点 $R$ 作 $x$ 轴垂线 $R H$ （垂足为 $H$ ），再过点 $K$ 作直线 $R H$ 的垂线 $K Q$ ，垂足为 $Q$ .当点 $R$ 在大圆上运动时，求证：垂足 $Q$ 的轨迹是椭圆，并求出椭圆 $Q$ 的轨迹方程.

（2）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，是以椭圆 $Q$ 为底面的“椭圆柱”， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为下底面椭圆的左右焦点， $A A^{'} = 4$ ， $P$ 为 $B B^{'}$ 上的中点， $E$ 为线段 $A^{'} B^{'}$ 上的动点， $M N$ 为过点 $F_{2}$ 的下底面椭圆的一条动弦（不与 $A B$ 重合）.求三棱锥 $E - P M N$ 的体积的取值范围.

（3）已知集合 $U = \{(x, y) |x, y \in R\}$ ， $A = \{(x, y) |3 x cos θ + 2 \sqrt{3} y sin θ - 6 = 0\}$ ，求集合 $B = ∁_{U} A$ 表示的面积.

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D,$ $B C = C D = 2,$ $A C = 4,$ $∠ A C B = ∠ A C D = 60^{\circ}$ .

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $F$ 为 $P C$ 的中点，且 $A F ⊥ P B$ ；
（i）求证：四棱锥 $P - A B C D$ 的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径；
（ii）求二面角 $B - A F - D$ 的正弦值.

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