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相关试卷

1、射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 $\frac{3}{4}, \frac{1}{2}$ . 记事件 $A$ 为 “两人都击中”，事件 $B$ 为 “至少 1 人击中”，事件 $C$ 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（）

A、事件 $A$ 与 $C$ 是互斥事件 B、事件 $B$ 与 $C$ 是对立事件 C、事件 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、 $P (A \cup B) = \frac{7}{8}$

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2、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - m x$ （ $e$ 为自然对数的底数），若 $f (x) > 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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3、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的准线为 $l$ ，点 $P$ 在 $C$ 上，直线 $l^{'} : 4 x - 3 y + 11 = 0$ ，点 $P$ 到直线 $l^{'}$ 的距离与到直线 $l$ 的距离之和的最小值是.

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4、已知函数 $f (x) = x^{3} - m x^{2}, x = 2$ 是函数 $f (x)$ 的一个极值点，则下列说法正确的是（）

A、 $m = 3$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $(1, 2)$ 上单调递减 C、过点 $(1, - 2)$ 能作两条不同的直线与 $y = f (x)$ 相切 D、函数 $y = f [f (x)] + 2$ 有5个零点

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5、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |\frac{x - 5}{x - 2} < 0\}$ ， $B = \{x |a - 1 < x < a + 1, a \in R\}$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $∁_{U} A$ ， $A \cap ∁_{U} B$ ；

(2)、若 $A \cap B = \emptyset$ ，求 $a$ 的取值范围.

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6、已知 $y = f (x)$ 为定义在 $(0, + \infty)$ 上为减函数，且 $f (a + 1) < f (1 - 4 a)$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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7、已知集合 $A = \{x |- 1 < x < 1\}$ ， $B = \{x |0 \leq x \leq 2\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x \leq 2\}$ B、 $\{x |- 1 < x < 2\}$ C、 $\{x |0 \leq x < 1\}$ D、 $\{x |0 \leq x \leq 2\}$

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8、已知函数 $f (x) = a ln x - x^{2}$ ， $g (x) = (a - 2) x$ ， $(a \in R)$ ．

(1)、当 $a < 0$ 时，求函数 $f (x)$ 零点的个数；

(2)、若 $f (x) + x^{2} - x \leq - 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、求函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的极值．

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9、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = 2$ ，且当 $n$ 为奇数时， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 1$ ；当 $n$ 为偶数时， $a_{n + 1} = 2 a_{n - 1}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $S_{2 n}$ ．

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10、已知正四棱锥 $M - A B C D$ 的一个侧面的周长为10，则该四棱锥体积的最大值为，此时其外接球表面积为.

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11、已知 ${(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ 展开式的第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则展开式中 $x^{3}$ 项的系数为.（用数字作答）

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12、在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 绕其顶点分别逆时针旋转 $90 °$ 、 $180 °$ 、 $270 °$ 后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若 $p = 1$ ，则（）

A、开口向上的抛物线的方程为 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ B、 $|A B| = 4$ C、直线 $x + y = t$ 截第一象限花瓣的弦长最大值为 $\frac{3}{4}$ D、阴影区域的面积大于4

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13、下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（）

A、 $C_{3}^{3} + C_{4}^{3} + C_{5}^{3} + \dots + C_{10}^{3} = 330$ B、设 $x = A_{90}^{90} \times (\frac{2}{A_{3}^{3}} + \frac{3}{A_{4}^{4}} + \frac{4}{A_{5}^{5}} \dots + \frac{89}{A_{90}^{90}})$ ，则 $x$ 的个位数字是6 C、已知 $n > m$ ，则等式 $\frac{C_{n}^{m}}{m + 1} = \frac{C_{n + 1}^{m + 1}}{n + 1}$ 对任意正整数 $n$ ， $m$ 都成立 D、等式 ${(C_{n}^{0})}^{2} + {(C_{n}^{1})}^{2} + {(C_{n}^{2})}^{2} + \dots + {(C_{n}^{n})}^{2} = C_{2 n}^{n}$ 对任意正整数 $n$ 都成立

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14、已知函数 $f (x) = - 4 \cos x \cos (x + \frac{π}{3}) + 1$ ，则下列说法正确的是（）．

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $x = \frac{5 π}{6}$ 为函数 $f (x)$ 图像的一条对称轴 C、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{4 π}{3}, \frac{19 π}{12}]$ 上单调递减 D、函数 $y = f (x) + \frac{3}{2}$ 在 $[0, π]$ 上有3个零点

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15、已知 $O$ 为坐标原点， $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 为单位向量， $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot \vec{O B} = \frac{3}{2}$ ， $C$ 在定直线 $l : y = x + 2 \sqrt{2}$ 上，不等式 $|\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C}| \geq T$ 恒成立，则实数 $T$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 2 + \sqrt{3}]$ B、 $(- \infty, 2 - \sqrt{3}]$ C、 $(- \infty, 2 \sqrt{3}]$ D、 $(- \infty, \sqrt{3}]$

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16、设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x + a^{3}$ ，则下面正确的是（）

A、 $f (x)$ 有两个极值点 B、若 $a > 0$ ，则当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq 0$ C、若 $f (x)$ 有3个零点，则 $a$ 的取值范围是 $(0, \sqrt[3]{4})$ D、若存在 $s, t \in R$ ，满足 $f (s - t) + f (s + t) = 2 f (s)$ ，则 $s t = 1$

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17、若 $\tan θ = 3 \tan α, \sin (θ + α) = \frac{2}{3}$ ，则 $\cos 2 (θ - α) =$ （）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{1}{9}$

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18、给出下列说法，其中正确的是（　　）

A、某病8位患者的潜伏期（天）分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为 $4$ B、已知数据 $x_{1}, x_{2}, \dots$ 的平均数为2，方差为3，那么数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， $\dots$ 的平均数和方差分别为5，13 C、在回归直线方程 $\hat{y} = 0.25 x + 1.5$ 中，相对于样本点 $(2, 1.2)$ 的残差为 $- 0.8$ D、样本相关系数 $r \in (- 1, 1)$

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19、一节阅读课，共有n位读者 $(n \geq 3, n \in N^{*})$ 围坐在圆桌前．每人面前和桌正中央各有一种不同的书（每种书足够多），每人每课只能选一种书．

(1)、当 $n = 3$ 时，若3人都不选桌中央的书，求每人都不选自己面前书的概率；

(2)、规定每人只能从自己面前或桌中央随机选取一种书，将第i位读者面前的这种书编号为 $i (i = 1, 2, \dots, n)$ ．用 $Y_{i} = 0$ 表示“编号为i的书未被选”， $Y_{i} = 1$ 表示“编号为i的书被选”．
（ⅰ）求 $Y_{1}$ 的概率分布；
（ⅱ）第一节阅读课后编号为i的书选择情况取值为 $Y_{i}$ ，第二节课后编号为i的书选择情况取值为 ${Y^{'}}_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ ．记 $X = \sum_{i = 1}^{n} Y_{i} {Y^{'}}_{i}$ ，求X的分布列与数学期望．

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20、如图，已知圆台 $O O_{1}$ 的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所成的角为 $30 °$ ．

(1)、求圆台 $O O_{1}$ 的体积；

(2)、设 $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ 分别是圆台 $O O_{1}$ 的两条母线．
（ⅰ）求证： $A B // A_{1} B_{1}$ ；
（ⅱ）若 $∠ A O B = 120 °$ ， P是圆 $O_{1}$ 上的动点，求直线 $O P$ 与平面 $O_{1} A B$ 所成角正弦值的最大值．

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