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相关试卷

1、设抛物线 $Γ : x^{2} = 2 p y$ 的焦点为 $F$ ，且焦点到准线的距离为 $2$ ．过点 $C (0, 3)$ 的直线 $l$ 交抛物线 $Γ$ 于 $A$ 、 $B$ 两点．

(1)、求抛物线 $Γ$ 的标准方程；

(2)、直线 $y = - 3$ 上有一动点 $D$ ，其横坐标为 $x_{0}$ ．
（i）若 $x_{0} = - 1$ 且直线 $F D$ 经过 $△ F A B$ 的内心，求直线 $l$ 的方程；
（ii）是否存在点 $D$ ，使得对任意直线 $l$ 都满足 $F D$ 经过 $△ F A B$ 的内心且同时满足 $D A$ 、 $D B$ 同时与 $Γ$ 相切？若存在，则加以证明．若不存在，请说明理由．

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2、已知椭圆 $E$ 过 $A (1, \frac{3}{2}) ， B (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \sqrt{2})$ ，直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $M$ ， $N$ 两点，且 $Q$ 为线段 $M N$ 中点，设直线 $M N$ 和直线 $O Q$ （ $O$ 为坐标原点）的斜率分别为 $k$ 和 $k^{'}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、当直线 $M N$ 和直线 $O Q$ 的斜率分别为 $k$ 和 $k^{'}$ 都存在时，证明： $k \cdot k^{'}$ 为定值；

(3)、若 $O$ 关于 $Q$ 的对称点 $P$ 在椭圆 $E$ 上，证明： $△ M O N$ 的面积为定值．

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3、已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (3, - 1)$ 和 $B (2, 6)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x + y - 1 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $M (4, 1)$ 作圆的切线，求切线方程．

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4、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，所有棱长均为1，底面 $A B C D$ 为正方形， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60^{\circ}$ ，记 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ．

(1)、求证： $\vec{B D} ⊥ \vec{A C_{1}}$ ；

(2)、求 $\vec{A C}$ 和 $\vec{A B_{1}}$ 夹角的余弦值．

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5、已知 $λ$ 为任意实数， $M$ 是圆 $C : {(x - t)}^{2} + {(y + t)}^{2} = 1 - 2 t^{2}$ 上任意一点，当 $λ$ 变化时， $M$ 到直线 $l : 3 x + 4 y - 2 + λ (2 x + y + 2) = 0$ 距离的取值范围是．

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6、设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 被直线 $y = x - 4$ 截得的弦 $A B$ 的长为 $\sqrt{34}$ ，则 $p =$ ．

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7、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \frac{1}{3} x$ ，则其离心率为．

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8、底面为直角梯形的直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B ⊥ A D ， B C / / A D ， A B = B C = A A_{1} = 1$ ， $A D = 2$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}} (0 \leq x \leq 1 ， 0 \leq y \leq 1 ， 0 \leq z \leq 1)$ ．则下列结论正确的是（）

A、若 $y = 1$ ，则点 $P$ 在平面 $C D D_{1} C_{1}$ 上 B、若 $x = 2 y$ ，则点 $P$ 在平面 $A C C_{1} A_{1}$ 上 C、若 $x = y = z = 1$ ，则点 $P$ 到直线 $A C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、若 $y = 0 ， x + z = 1$ 时，直线 $A P$ 与面 $A_{1} C D$ 所成角的正弦值取值范围是 $[\frac{\sqrt{6}}{6} ， \frac{\sqrt{30}}{6}]$

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9、已知定圆 $O$ 和定点 $F$ ，点 $P$ 为圆 $O$ 上动点， $F P$ 的中垂线交直线 $O P$ 于点 $Q$ ，则点 $Q$ 的轨迹可能为（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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10、已知直线 $l_{1} : A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ 和直线 $l_{2} : A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $l_{2}$ 表示与 $x$ 轴平行或重合的直线，则 $A_{2} = 0$ B、若 $l_{2}$ 表示与 $x$ 轴平行或重合的直线，则 $B_{2} = 0$ C、若 $A_{1} B_{2} = A_{2} B_{1}$ ，则 $l_{1} // l_{2}$ D、若 $A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0$ ，则 $l_{1} ⊥ l_{2}$

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11、如图，正方形 $A B C D$ 与正方形 $A B E F$ 所在平面互相垂直， $\vec{A M} = λ \vec{A C} (0 \leq λ \leq 1)$ ， $\vec{F N} = μ \vec{F B} (0 \leq μ \leq 1)$ ， $|A B| = 2$ ，则 $|M N|$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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12、已知椭圆 $C : 9 x^{2} + 16 y^{2} = 2$ ， $M$ 为 $C$ 上的一动点，则点 $M$ 到直线 $l : 3 x - 4 y + 10 = 0$ 距离的最大值为（）

A、 $\frac{6}{5}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、2 D、 $\frac{12}{5}$

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13、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x = 0$ ，过点 $(1, 2)$ 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $6$

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14、设 $O$ 为坐标原点， $F_{1} 、 F_{2}$ 是双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，点 $A$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $| A F_{1} ⊥ A F_{2}$ ，则 $|A F_{2}| =$ （）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $6$

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15、若空间向量 $\vec{a} = (1, - 1, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 1, - 1)$ ，则下列向量可以与 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 构成空间的一个基底的是（）

A、 $\vec{p} = (1, 0, 0)$ B、 $\vec{q} = (1, - 2, 2)$ C、 $\vec{r} = (1, 2, 1)$ D、 $\vec{s} = (0, 0, 0)$

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16、著名天文学家开普勒发现：地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳为该椭圆的一个焦点．我们将地球在该椭圆轨道上距离太阳最近和最远的位置分别称为近日点和远日点．已知近日点到太阳的距离约为 $1.47 \times 10^{8} km$ ，远日点到太阳的距离约为 $1.52 \times 10^{8} km$ ，则该椭圆的焦距约为（）

A、 $2.50 \times 10^{6} km$ B、 $5.00 \times 10^{6} km$ C、 $1.495 \times 10^{8} km$ D、 $2.99 \times 10^{8} km$

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17、直线 $3 x - \sqrt{3} y + 2 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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18、如图，已知 $△ A B C$ 中， $A C = 4$ ， $∠ B C A = 90 °$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， M，N为线段 $A B$ 上两点，且 $∠ M C N = 30 °$ ．

(1)、若 $C M ⊥ A B$ ，求 $\vec{C M} \cdot \vec{C B}$ 的值；

(2)、设 $∠ A C M = θ$ ，试将 $△ M C N$ 的面积S表示为 $θ$ 的函数，并求其最大值．

(3)、若 $B N = \frac{\sqrt{6}}{8} A M$ ，求 $\cos ∠ A C M$ 的值．

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19、某学校承办了2024年某次大型体育比赛的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

(1)、求a、b的值，并估计这100名候选者面试成绩的中位数；

(2)、在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两个来自同一组概率．（要求列出样本空间进行计算）

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20、已知向量 $\vec{a} = (\cos \frac{π}{12}, \sin \frac{π}{12})$ ， $\vec{b} = (\sin α, \cos α)$ .

(1)、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，求 $\tan α$ ；

(2)、若 $| \vec{a} - \vec{b} | = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ，
①求 $\sin (α + \frac{π}{12})$ ；
②已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $\cos 2 α$ .

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