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相关试卷

1、若函数 $f (x) = 2 e^{2 x} + 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, 3)$ 处的切线方程为．

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2、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ ，直线 $y = a$ 与函数 $f (x)$ 的图像有3个不同的交点，3个交点的横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $a \in (0, 4)$ B、过点 $(0, 4)$ 作函数 $f (x)$ 的切线，有且只有三条 C、若 $m + n = 2$ ，则有 $f (m) + f (n) = 4$ D、 $x_{1} x_{2} x_{3} = a - 4$

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3、下列说法正确的是（）

A、 $A_{n + 2}^{n + 2} - A_{n + 1}^{n + 1} = {(n + 1)}^{2} A_{n}^{n}$ B、将9个团员指标分到某年级的3个班，每班要求至少得2个，有15种不同的分配方法 C、某同学把英文单词“apple”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 D、 $C_{n}^{5 - n} + C_{n + 1}^{9 - n} = 5$

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4、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B、若 $< \vec{a}, \vec{b} >$ 是锐角，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ C、已知 $\vec{A B} = (- 1, \frac{1}{2}, 0)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{m} = (1, 2, 1)$ ，则 $A B ∥ α$ D、已知向量组 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，则 $\{2 \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} - \vec{a}\}$ 也是空间的一个基底

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5、设函数 $f (x) = e^{x} (2 x - 1) - 3 a x + 3 a$ ，其中 $a < 1$ ，若存在唯一的整数 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) < 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2 e}, \frac{1}{3})$ B、 $[\frac{3}{2 e}, 1)$ C、 $[\frac{4 \sqrt{e}}{3 e}, 1)$ D、 $[\frac{3}{4 e}, \frac{1}{3})$

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6、设 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 定义在 $(0, + \infty)$ 上的导函数，满足 $x f^{'} (x) + 2 f (x) = e^{x}$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{f (e)}{e^{2}} > \frac{f (e^{2})}{e}$ B、 $\frac{f (2)}{9} > \frac{f (3)}{4}$ C、 $\frac{f (e)}{e^{2}} < \frac{f (3)}{9}$ D、 $\frac{f (2)}{e^{2}} < \frac{f (e)}{4}$

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7、毕业前夕，某高中高三（6）班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师，共6人合影留念，站成前后相对应的两排，每排3人，老师站在前排中间，其中甲、乙两名同学不相邻（相邻仅包括正前后或左右），则不同站法种数为（）

A、96 B、84 C、72 D、48

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8、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - t x^{2} + 3 x$ 在区间 $[1, 3]$ 上单调递减，则实数 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{9}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{19}{2}, + \infty)$ C、 $[3 \sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(\frac{9}{2}, + \infty)$

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9、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, 1), \vec{b} = (1, x, 1), \vec{c} = (1, - 2, - 1)$ ，当 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 时，向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{c}$ 上的投影向量为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $- \sqrt{6}$ C、 $- \sqrt{6} \vec{c}$ D、 $- \vec{c}$

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10、自然对数 $e$ 也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一， $e$ 的近似值约为 $2.7182818 \dots$ ，若用欧拉数的其中 $6$ 位数字 $1, 8, 2, 8, 1, 8$ 设置一个 $6$ 位数的密码，则不同的密码有（）个

A、 $720$ B、 $180$ C、 $60$ D、 $260$

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11、已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = (x^{2} - 3) e^{x} + 2$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、当 $x < 0$ 时， $f (x) = - (x^{2} - 3) e^{- x} - 2$ C、 $f (x) \geq 2$ 当且仅当 $x \geq \sqrt{3}$ D、 $x = - 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点

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12、在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的n个小球，将它们分别编号为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ ．每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．记总的摸球次数为 $X_{n}$ ，其期望为 $E (X_{n})$ ．

(1)、求 $P (X_{2} = 4)$ 与 $P (X_{3} = 5)$ ；

(2)、求 $E (X_{2})$ ；

(3)、证明： $E (X_{n}) > n \ln (n + 1)$ ．
附：①若随机变量 $X$ 的可能取值为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n, \cdot \cdot \cdot$ ，则 $E (X) = \sum_{i = 1}^{+ \infty} (k \cdot P (X = k)) = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} (k \cdot P (X = k))$
②若随机变量 $X = \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}$ ，则 $E (X) = \sum_{i = 1}^{n} E (ξ_{i})$ ．

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13、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列说法正确的有（）

A、 $A_{1} C_{1} / /$ 平面 $A C D_{1}$ B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ C、点 $D$ 到平面 $A C D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $A B$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的角为 $30 °$

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14、九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件 $A = “ a + b \geq 9$ ”，则 $P (A)$ 的值为.
$a$
$d$
$f$
$b$
5
$g$
$c$
$e$
$h$

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15、已知正数 $x, y$ 满足 $\frac{2}{x + 1} + \frac{8}{y} = 1$ ，则 $x + y$ 的最小值是（）

A、17 B、16 C、15 D、14

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} - x^{2} + 2 a x + 4 ， x \leq 1 \\ \frac{1}{x} ， x > 1 \end{matrix}$ 是 $[- \frac{1}{2}, + \infty)$ 上的减函数，则 $a$ 的取值范围是（　　）

A、 $[- 1, - \frac{1}{2}]$ B、 $（ - \infty, - 1]$ C、 $[- 1, - \frac{1}{2})$ D、 $（ - \infty, 1]$

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17、中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的立体为“牟合方盖”，但刘徽未能求得牟合方盖的体积，约200年后，祖冲之的儿子祖暅提出“幂势既同，则积不容异”，后世称为祖暅原理，即：两等高立体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立体体积相等．图1为棱长为r的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为r的正方体的八分之一，图3是底面边长为r的正方体的一个底面和底面以外的顶点作的正四棱锥，由祖暅原理计算知，牟合方盖的体积与其外切正方体的体积之比为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{9}{16}$

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18、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF₂|，则双曲线的渐近线方程为．

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19、记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} = \frac{1}{4}, S_{3} = \frac{3}{4}$ ，则公比 $q =$ ．

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20、如图，直线 $l : y = m (m > 0)$ 与函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象依次交于A，B，C三点，若 $| B C | = 2 | A B |$ ， $| A C | = 6$ ，则（）

A、 $m = 1$ B、 $ω = π$ C、 $x = - \frac{1}{2}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的一条对称轴 D、曲线 $y = f (x)$ 向右平移1个单位后关于原点对称

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