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相关试卷

1、复数 $1 + 3 i$ 对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、命题“ $\forall x \in [- 2, 1]$ ， $x^{2} - x - a \leq 0$ ”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $a \leq - \frac{1}{4}$ B、 $a \leq 0$ C、 $a \geq 6$ D、 $a \geq 8$

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3、如图，在棱长均为2的平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，且 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60^{°}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $B D_{1}$ 长为 $2 \sqrt{3}$ B、异面直线 $A C$ 与 $B D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $A_{1} C ⊥ B_{1} D_{1}$ D、 $A A_{1} ⊥ B D$

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4、为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏.已知 $A C = 40 m$ ， $B C = 40 \sqrt{3} m$ ， $A C ⊥ B C$ ， $∠ M C N = 30 °$ .

(1)、若 $A M = 20 m$ 时，求护栏的长度（△MNC的周长）；

(2)、当 $∠ A C M$ 为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\frac{a}{\sqrt{3} \cos A} = \frac{c}{\sin C}$ .
（1）求角A的大小；
（2）若 $a = 6$ ， $b + c = 9$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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6、已知 $α \in (\frac{π}{2} ， π) ， \sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .
（1）求 $\sin (\frac{π}{4} + α)$ 的值；
（2）求 $\cos (\frac{5 π}{6} - 2 α)$ 的值.

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7、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ .

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 和 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、若 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值.

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8、 $\sin 50^{°} (1 + \sqrt{3} \tan 10^{°}) =$ .（用数字作答）.

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9、已知角 $α$ 是第一象限角，且 $\cos α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\tan 2 α$ 的值为．

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10、关于函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (2 x + \frac{π}{6}) - 2 \sin^{2} (x + \frac{π}{12})$ ，下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最大值是3 B、若方程 $f (x) - m = 0$ 在区间 $[0, \frac{π}{3}]$ 有两个不相等的实根，则 $m \in [\sqrt{3} - 1, 1)$ C、在 $△ A B C$ 中，若 $A$ 为锐角且 $f (A) = - 1$ ，角 $A$ 的对边 $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ D、在 $△ A B C$ 中，若 $A$ 为锐角且 $f (A) = - 1$ ， $△ A B C$ 面积为 $4 \sqrt{3}$ ，边 $B C$ 的中点为 $M$ ，则中线 $A M$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$

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11、下列说法正确的是（）

A、向量 $\vec{a} = (- 2, 3)$ ， $\vec{b} = (\frac{2}{3}, - 1)$ 可以作为平面内所有向量的一组基底 B、已知 $\vec{a} = (3, 5)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，若 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\vec{c}$ ，则 $\vec{c} = (4, 4)$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角 D、非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为 $90 °$

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12、黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为 $m = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ ，这是公认的最能引起美感的比例．黄金分割比的值还可以近似地表示为 $2 sin 18 °$ ，则 $\frac{sin 42^{\circ} + m}{cos 42^{\circ}}$ 的近似值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $1$ D、 $\sqrt{3}$

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13、下列命题正确的是（）

A、以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B、以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C、圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D、圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径

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14、如图，三个相同的正方形相接，则 $α + β$ 的大小为（）

A、 $\frac{3}{4} π$ B、 $\frac{1}{3} π$ C、 $\frac{2}{3} π$ D、 $\frac{1}{4} π$

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15、如图，已知矩形钢板PABQ，AB=6米，AP长不限，现截取一块直角梯形模板EABN(E、N分别在AP、BQ上)，且满足腰AB 上存在点M，使得 $△ M B N ≅ △ M E N .$ 设 $∠ B N M = θ ， A M = t$ 米.

(1)、设 $t = f (θ) ，$ 求f(θ)的表达式：

(2)、当AM 的长为多少时，模板EABN的面积S最小，并求出这个最小值.

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16、设 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $\sqrt{3} a \sin C = c (1 + \cos A)$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 2, c = 3$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线且交 $B C$ 于点 $D$ ，求线段 $A D$ 的长.

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17、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (4, 3), B (6, 8)$ ，点 $M$ 满足 $\vec{O M} = λ \vec{O B}, λ \in R$ ．

(1)、若 $A M ⊥ O B$ ，求 $λ$ ；

(2)、若 $(\vec{O M} + \vec{O A}) ∥ \vec{A B}$ ，求 $M$ 的坐标．

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18、设复数 $z_{1} = 2 + 3 i$ ， $z_{2} = 1 - m i$ $(m \in R)$ .

(1)、若 $z_{1} - z_{2}$ 是实数，求 $\bar{z_{1} z_{2}}$ ；

(2)、在复平面内，复数 $\frac{z_{2}}{z_{1}}$ 所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.

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19、点O是△ABC所在平面内的一点，满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ，则点O是 $Δ A B C$ 的心．

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20、已知i是虚数单位，则 $i + i^{3} + i^{5} + i^{7} =$

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